2006-天津卷理-15 填-函数最值实际应用题

本题导读

本题考查基本不等式在企业物流运营实际最值问题中的应用。核心在于根据总运费与总存储费用的代数结构特征，套用基本不等式“一正二定三相等”的充要条件求出最小值对应的采购量。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(理)） 某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 $x$ 吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储费用为 $4x$ 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 $x=$ $\underline{}$ 吨.

🔍【思路分析】

破题导航

构建总费用函数模型：

• 全年购买 400 吨，每次购买 $x$ 吨 $⟹$ 全年需购买的次数为 $\frac{400}{x}$ 次。
• 每次运费为 4 万元 $⟹$ 全年总运费为 $4\times \frac{400}{x}=\frac{1600}{x}$ 万元。
• 总存储费用已知为 $4x$ 万元 $⟹$ 费用之和 $y=\frac{1600}{x}+4x$。 基本不等式化简最值：因为 $x>0$，两项乘积为定值 $\frac{1600}{x}\times 4x=6400$。直接套用基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 求解最小和。 求出取等号的自变量 $x$：令 $\frac{1600}{x}=4x$ 反解出满足成本最低的最优采购吨数 $x$。

✅【答案】

Success

$20$

✍【详细解析】

Abstract

解：设全年总运费与总存储费用之和为 $y$（万元）。 因为全年共购买货物 400 吨，每次购买 $x$ 吨， 所以全年的采购总次数为： $\frac{400}{x}$ 次。 已知每次运费固定为 4 万元，则全年的总运费为： $\text{总运费}=4\times \frac{400}{x}=\frac{1600}{x}\text{ 万元}$

将总运费与已知的总存储费用 $4x$ 万元进行累加， 建立目标函数模型： $y=\frac{1600}{x}+4x(x>0)$

因为 $x>0$， 满足基本不等式“一正”的条件，且两项的代数乘积为固定常数（满足“二定”）： $y=\frac{1600}{x}+4x\ge 2\sqrt{\frac{1600}{x}\times 4x}=2\sqrt{6400}=2\times 80=160\text{ 万元}$

根据基本不等式的取等号条件， 当且仅当两项数值严格相等时（满足“三相等”），总费用之和达到绝对极小值： $\frac{1600}{x}=4x⟹4x^2=1600⟹x^2=400$ 由于采购质量 $x$ 必须为正数， 舍去负根， 解得： $x=20$

所以，要使一年的总运费与总存储费用之和最小， 每次购买的货物量应为 20 吨。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：物流采购次数与单次运费的代数建模、基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$、取等号临界方程的求解。
• 核心方法：基本不等式法。
• 避坑指南：
• 题目要求的最终答案是求 $x$ 的值（每次购买多少吨），而不是求最小的总费用（160万元）。考场上务必认真审题，防止将 $x=20$ 错写成最值 160。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源自现代管理经济学中极为著名的**经济订货量（EOQ, Economic Order Quantity）**经典库存决策模型，属于基本不等式在商业运营中降本增效的直接应用。 结论推广: 针对所有满足总成本 $C=\frac{A}{x}+Bx$ 构型的最优化决策模型， 其取得最优资源配置的临界点永远在两项成本要素实现均等平衡时切出，即最优解恒为 $x=\sqrt{\frac{A}{B}}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-山东卷理-16 填-基本不等式求最值
• 2009-湖南卷文-10 填-基本不等式最值
• 2011-天津卷文-12 填-基本不等式最值