2006-天津卷理-12 填-向量夹角公式

本题导读

考查坐标运算与夹角余弦。$\vec{b}$ 没直接给，要从 $2\vec{b}-\vec{a}=(-1,1)$ 里解出来——这是一道”先解方程后套公式”的题。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(理)） 设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\theta$，且 $\vec{a}=(3,3)$， $2\vec{b}-\vec{a}=(-1,1)$，则 $\cos \theta =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

解出向量 $\vec{b}$ 的坐标：将 $\vec{a}=(3,3)$ 代入已知方程 $2\vec{b}-\vec{a}=(-1,1)$，变形移项求出 $2\vec{b}$，两边同除以 2 得到 $\vec{b}$ 的具体直角坐标。 计算核心分量：分别利用坐标计算出点积 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 以及各自的模长 $|\vec{a}|$ 与 $|\vec{b}|$。 求夹角余弦：套用公式 $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$ 计算出结果。

✅【答案】

Success

$\frac{3\sqrt{10}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

解：已知向量线性方程 $2\vec{b}-\vec{a}=(-1,1)$，将 $\vec{a}=(3,3)$ 对应代入： $2\vec{b}=(-1,1)+\vec{a}=(-1,1)+(3,3)=(-1+3,1+3)=(2,4)$ 两边同时除以常数 2， 解得向量 $\vec{b}$ 的坐标为： $\vec{b}=(1,2)$

下面利用坐标分别计算两向量的数量积与各自的模长：

• 计算数量积 $\vec{a}\cdot \vec{b}$： $\vec{a}\cdot \vec{b}=3\times 1+3\times 2=3+6=9$
• 计算向量 $\vec{a}$ 的模长 $|\vec{a}|$： $|\vec{a}|=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
• 计算向量 $\vec{b}$ 的模长 $|\vec{b}|$： $|\vec{b}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$

将上述三个数据统一代入平面向量的夹角余弦公式： $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{9}{3\sqrt{2}\times \sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量的坐标线性运算、数量积的坐标式、夹角余弦公式。

核心方法：先由 $2\vec{b}=\vec{c}+\vec{a}$ 解出 $\vec{b}$，再算 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 与两个模。

避坑指南：移项时 $2\vec{b}=(-1,1)+(3,3)=(2,4)$，别把减号做成加号的反面；除 $2$ 要两个分量都除，得 $(1,2)$ 而不是 $(2,4)$。$\cos \theta =\frac{9}{3\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$，最后一步分母有理化，别停在 $\frac{9}{3\sqrt{10}}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查平面向量基本坐标线性四则运算与几何夹角转换最经典的常规基础填空题。 结论推广: 针对任意由线性组合 $A\vec{b}+B\vec{a}=\vec{c}$ 定义的平面向量，其本质可以通过完全的“坐标分量独立化”转化为初等一元方程独立求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2011-安徽卷文-14 填-向量数量积夹角
• 2012-湖北卷文-13 填-向量单位向量与夹角
• 2014-四川卷文-14 填-向量夹角相等