2006-天津卷理-11 填-通项公式

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式与幂次指数代数运算。关键在于写出通项后，通过合并自变量 $x$ 的指数，建立关于项次 $r$ 的一次方程，从而确定特定项的系数。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(理)） ${\left(2x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^7$ 的二项展开式中 $x$ 的系数是$\underline{}$. (用数字作答)

🔍【思路分析】

破题导航

写出通项公式：利用二项展开式的通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 展开。 合并同类幂次：将含有自变量 $x$ 的底数统一合并，写成 $x^{f(r)}$ 的标准代数形式。 建立方程求解：令指数 $f(r)=1$，求出对应的正整数 $r$，再将其代入前面的系数项中算出具体数值。

✅【答案】

Success

$280$

✍【详细解析】

Abstract

解：利用二项式展开定理，写出 ${\left(2x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^7$ 的通用通项公式： $T_{r+1}={\text{C}}_7^r\cdot (2x{)}^{7-r}\cdot {\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)}^r(r=0,1,\dots ,7)$

将常数系数与自变量 $x$ 的指数项进行分离合并： $T_{r+1}={\text{C}}_7^r\cdot 2^{7-r}\cdot x^{7-r}\cdot x^{-\frac{1}{2}r}={\text{C}}_7^r\cdot 2^{7-r}\cdot x^{7-r-\frac{1}{2}r}={\text{C}}_7^r\cdot 2^{7-r}\cdot x^{7-\frac{3}{2}r}$

题目要求计算展开式中 $x$ 的系数（即对应的幂次为 $x^1$）。 令自变量的综合指数等于 1， 建立方程： $7-\frac{3}{2}r=1⟹\frac{3}{2}r=6⟹r=4$

将 $r=4$ 代回通项公式前方的常数系数部分： $\text{系数}={\text{C}}_7^4\cdot 2^{7-4}={\text{C}}_7^3\cdot 2^3$ 计算具体的数值： ${\text{C}}_7^3=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35$ $\text{系数}=35\times 8=280$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项式展开通项公式应用、幂运算规则（ $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$）、组合数及乘方的定量计算。
• 核心方法：指数待定方程法。
• 避坑指南：
• 合并 $x$ 的系数时，千万不要漏掉第一个底数内部的系数 2 的乘方 $2^{7-r}$，很多考生习惯性只关注 $x$ 的幂次，导致算错最终常数项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是高二排列组合与二项式定理最标准、最高频的常规送分填空母题。 结论推广: 针对任意形如 ${\left(A{x}^p+B{x}^q\right)}^n$ 的二项式展开特定项求解，其通项指数关系式满足刚性线性方程 $pn+(q-p)r=K$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-11 填-二项展开式通项公式
• 2007-大纲卷II理-13 填-二项展开式通项公式常数项
• 2007-安徽卷理-12 填-二项展开式通项公式