2006-天津卷理-03 单-目标函数的几何意义

本题导读

本题考查二元线性规划。核心在于准确绘制出三个不等式约束条件夹出的平面封闭可行域，通过平移目标函数基准线，锁定取得绝对最小值的临界几何顶点。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(理)） 设变量 $x、y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}y\le x\\ x+y\ge 2\\ y\ge 3x-6\end{array}$，则目标函数 $z=2x+y$ 的最小值为()

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 9

🔍【思路分析】

破题导航

绘制平面可行域：在直角坐标系中分别画出三条边界直线： $l_1:x-y=0$、 $l_2:x+y-2=0$、 $l_3:3x-y-6=0$，确定交点，找出共同覆盖的公共区域。 分析目标函数几何特征：将 $z=2x+y$ 变形为斜截式： $y=-2x+z$。这代表一组斜率固定为 $-2$、纵截距为 $z$ 的平行直线系。要使 $z$ 取得绝对最小值，只需使直线的纵截距最小，即直线在可行域内向左下方平行移动时接触到的最后一个临界边缘点。 计算顶点求最值：比对平行线斜率 $-2$ 与可行域各边界斜率的关系，锁定最低顶点，联立方程组求出该点坐标，代入计算 $z$ 的值。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：首先求解约束条件对应的可行域各个顶点的直角坐标：

• 联立 $y=x$ 与 $x+y=2⟹2x=2⟹x=1,y=1$。交点为 $A(1,1)$。

• 联立 $y=x$ 与 $y=3x-6⟹2x=6⟹x=3,y=3$。交点为 $B(3,3)$。

• 联立 $x+y=2⟹y=2-x$ 与 $y=3x-6⟹2-x=3x-6⟹4x=8⟹x=2,y=0$。交点为 $C(2,0)$。

这三条直线在坐标平面上围成一个以 $A(1,1),B(3,3),C(2,0)$ 为顶点的三角形封闭区域。 将目标函数 $z=2x+y$ 转化为斜截式方程： $y=-2x+z$

这是一组斜率为 $-2$ 的平行直线系， 参数 $z$ 对应直线在 $y$ 轴上的纵截距。 随着基准直线向左下方平移， 截距 $z$ 逐渐减小。 观察可行域边界的斜率： $l_{AC}$ 的斜率为 $-1$， $l_{BC}$ 的斜率为 3，而目标直线的斜率为 $-2$。 通过图解法平移可知， 当直线 $y=-2x+z$ 经过可行域的左下角顶点 $A(1,1)$ 时，其纵截距 $z$ 达到全局绝对最小值。

将顶点 $A(1,1)$ 的坐标直接代入目标函数中计算： $z_{\text{min}}=2\times 1+1=3$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二元一次不等式组平面可行域的精确绘制、目标函数向截距特征的几何转化、平移法锁定最值边界点。
• 核心方法：图解平移法、顶点枚举代入法。
• 避坑指南：
• 画图时要找准不等式对应的半平面方位。如 $y\ge 3x-6$ 对应直线的左上方区域，千万不可把可行域方向选反。
• 由于线性规划的最大、最小值必然在可行域的**顶点（交点）**处取得，在选择题中若时间紧迫，可直接计算出三个顶点 $A(1,1),B(3,3),C(2,0)$ 的值进行暴力比对： $z_A=3,z_B=9,z_C=4$。数值最小的必然是 3，从而实现考场秒杀。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查高中必修五线性规划最经典的常规高频标准选择题。 结论推广: 针对任何凸多边形封闭可行域内的线性目标函数 $z=Ax+By$，其全局最值必然在边界多项式的某一个离散的顶点坐标处切出。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-02 单-简单线性规划最值问题
• 2008-天津卷理-02 单-线性规划
• 2008-北京卷理-05 单-线性规划