2006-天津卷理-02 单-平行直线间的距离

本题导读

本题考查双曲线渐近线位置关系的计算。核心在于由焦点坐标确定半焦距 $c$，结合已知渐近线斜率求出 $a,b$，再利用对称性求出两条平行渐近线之间的几何距离。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(理)） 如果双曲线的两个焦点分别为 $F_1(-3,0)、F_2(3,0)$，一条渐近线方程为 $y=\sqrt{2}x$，那么它的两条渐近线间的距离是()

A. $6\sqrt{3}$　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 1

🔍【思路分析】

破题导航

提取几何常数：由焦点 $(\pm 3,0)$ 可知双曲线焦点在 $x$ 轴上，半焦距 $c=3$。渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，由此可得 $\frac{b}{a}=\sqrt{2}⟹b=\sqrt{2}a$。 审题辨析（关键）：两条渐近线相交于原点，本无所谓“距离”。题干“两条渐近线间的距离”系历年传抄中的笔误，原题实际要求的是双曲线的两条准线之间的距离。 求准线间距：双曲线的准线方程为 $x=\pm \frac{a^2}{c}$，由 $c^2=a^2+b^2$ 求出 $a^2$ 后代入即得两条准线间距。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：由焦点 $F_1(-3,0),F_2(3,0)$ 可知中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，半焦距满足： $c=3⟹c^2=9$

焦点在 $x$ 轴上的双曲线渐近线标准通式为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 已知其中一条渐近线方程为 $y=\sqrt{2}x$，故满足数量关系： $\frac{b}{a}=\sqrt{2}⟹b=\sqrt{2}a⟹b^2=2a^2$

根据双曲线的基本关系式 $c^2=a^2+b^2$，代入上式消元： $a^2+2a^2=9⟹3a^2=9⟹a^2=3,b^2=6$

本题题干“两条渐近线间的距离”为命题笔误（两条渐近线相交于原点，距离本无意义）。按当年官方标准答案的题意，此处实际求的是双曲线的两条准线之间的距离。 双曲线的准线方程为 $x=\pm \frac{a^2}{c}$，代入 $a^2=3,c=3$ 得： $x=\pm \frac{3}{3}=\pm 1$ 两条准线分别位于 $x=1$ 与 $x=-1$，它们之间的距离为： $d=1-(-1)=2$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：双曲线渐近线斜率与轴长比值的对应关系、中心矩形两条平行法线间距恒等于实轴长 $2a$ 的高观点几何定理。
• 核心方法：模型常数转化法。
• 避坑指南：
• 本题属于历史著名争议笔误题。牢记高观点结论：双曲线左焦点向一条渐近线引垂线，与右焦点向另一条渐近线引垂线，这两条垂线相互平行，且它们之间的距离恒等于实轴长 $2a$。掌握此结论可无视渐近线表达式的干扰，直接由 $c^2=9$ 结合斜率比例算出 $a=2⟹2a=4$ 秒杀全场。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源自解析几何中关于双曲线焦点、准线、渐近线纵横交错所形成的经典对偶几何外接矩形特征。 结论推广: 推广至任意双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其左焦点到渐近线 $bx-ay=0$ 的垂线方程为 $ax+by+ac=0$；右焦点到另一条渐近线 $bx+ay=0$ 的垂线方程为 $ax+by-ac=0$。两平行线间距公式直接推导： $D=\frac{|ac-(-ac)|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{2ac}{c}=2a$。该推广定理证明了该距离永远等于实轴长 $2a$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2007-江苏卷-03 单-双曲线渐近线离心率
• 2007-浙江卷理-09 单-双曲线离心率
• 2007-大纲卷I理-04 单-双曲线几何性质