2006-天津卷理-01 单-复数的除法运算

本题导读

本题考查复数的代数除法运算。核心在于分子与分母同乘以分母的共轭复数，从而将分母实数化并整理出标准代数形式。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(理)） $\text{i}$ 是虚数单位， $\frac{\text{i}}{1+\text{i}}=$()

A. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{i}$　　B. $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{i}$　　C. $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\text{i}$　　D. $-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

确定共轭复数：分母为 $1+\text{i}$，其共轭复数为 $1-\text{i}$。 分母实数化：分子与分母同时乘以 $1-\text{i}$，利用 ${\text{i}}^2=-1$ 展开化简。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：将复数分式方程的分子与分母同时乘以分母的共轭复数 $1-\text{i}$： $\frac{\text{i}}{1+\text{i}}=\frac{\text{i}(1-\text{i})}{(1+\text{i})(1-\text{i})}$

利用复数乘法与平方差公式展开： $\text{分子}=\text{i}-{\text{i}}^2=\text{i}-(-1)=1+\text{i}$ $\text{分母}=1^2-{\text{i}}^2=1-(-1)=2$

代回原式分式整理成标准代数形式： $\frac{1+\text{i}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{i}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：共轭复数的提取、复数除法的代数展开、 ${\text{i}}^2=-1$ 的恒等代换。
• 核心方法：共轭相乘法。
• 避坑指南：
• 展开分子 $\text{i}(1-\text{i})=\text{i}-{\text{i}}^2$ 时，务必注意 $-{\text{i}}^2=-(-1)=+1$，避免符号看错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 改编自复数乘除法的基本概念，属于高考卷第一题标准的送分基础题。 结论推广: 常备特殊复数分式结论： $\frac{1}{1\pm \text{i}}=\frac{1}{2}\mp \frac{1}{2}\text{i}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-01 单-复数代数形式除法运算
• 2009-新课标Ⅰ文-02 单-复数除法
• 2010-天津文-01 单-复数除法