2006-天津文-22 解-双曲线方程与垂直

本题导读

本题考查双曲线的方程与直线与双曲线位置关系。核心在于离心率定基本量求方程，韦达定理证垂直。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(文)） 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$，$F_1$，$F_2$ 分别为左、右焦点，$M$ 为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且 $\overrightarrow{F_{1}M}\cdot \overrightarrow{F_{2}M}=-\frac{1}{4}$。 （1）求双曲线的方程； （2）设 $A(m,0)$ 和 $B\left(\frac{1}{m},0\right)$（$0<m<1$）是 $x$ 轴上的两点，过点 $A$ 作斜率不为 $0$ 的直线 $l$，使得 $l$ 交双曲线于 $C$，$D$ 两点，作直线 $BC$ 交双曲线于另一点 $E$。证明：直线 $DE$ 垂直于 $x$ 轴。

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 由 $e=\frac{\sqrt{5}}{2}$ 得 $b^2=\frac{1}{4}{a}^2$，用 $\overrightarrow{F_{1}M}\cdot \overrightarrow{F_{2}M}=-\frac{1}{4}$ 定 $a^2=1$。
2. (2) 设 $C,D$ 横坐标为 $u,v$，直线 $BC$ 交双曲线于 $E$（横坐标 $w$），韦达定理证 $w=v$。

✅【答案】

Success

(1)$x^2-4y^2=1$

(2)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）设半焦距 $c$，$c^2=a^2+b^2$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。故 $c^2=\frac{5}{4}{a}^2$，$b^2=c^2-a^2=\frac{1}{4}{a}^2$。 左准线 $x=-\frac{a^2}{c}$，渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{1}{2}x$。$M$ 在第二象限，故 $M\left(-\frac{a^2}{c},\frac{a^2}{2c}\right)$，$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$。 $\overrightarrow{F_{1}M}=\left(c-\frac{a^2}{c},\frac{a^2}{2c}\right)$，$\overrightarrow{F_{2}M}=\left(-c-\frac{a^2}{c},\frac{a^2}{2c}\right)$。 $\overrightarrow{F_{1}M}\cdot \overrightarrow{F_{2}M}=\left(c-\frac{a^2}{c}\right)\left(-c-\frac{a^2}{c}\right)+\frac{a^4}{4c^2}=-\frac{a^2}{4}$（由 $c^2=\frac{5}{4}{a}^2$ 化简）。 结合题设 $=-\frac{1}{4}$，得 $a^2=1$，即 $a=1$，$b=\frac{1}{2}$。双曲线方程为 $x^2-4y^2=1$。

（2）双曲线 $x^2-4y^2=1$。设直线 $l$ 斜率为 $r$（$r\ne 0$），$C=(u,r(u-m))$，$D=(v,r(v-m))$，其中 $u,v$ 是 $x^2-4r^2(x-m{)}^2=1$ 的两根，由韦达定理 $u+v=\frac{8m{r}^2}{4r^2-1}$。 设直线 $BC$ 斜率为 $s$，$E$ 的横坐标为 $w$。由 $C$ 在双曲线上，$4r^2=\frac{u^2-1}{(u-m{)}^2}$，且 $s=\frac{r(u-m)}{u-1/m}$。 可推得 $u+w=\frac{2m(u^2-1)}{2mu-m^2-1}=u+v$，故 $w=v$，即 $x_D=x_E$。 若 $D=E$，则直线 $BC$ 过 $C,D$ 与直线 $l=CD$ 重合，导致 $B\in l$，与 $l$ 斜率不为零矛盾，故 $D\ne E$。因此 $DE$ 为竖直直线，$DE\perp x$ 轴。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线方程与垂直

核心方法：离心率定基本量求方程，韦达定理证横坐标相等

避坑指南：(1) $b^2=\frac{1}{4}{a}^2$，用数量积 $-\frac{1}{4}$ 定 $a^2=1$；(2) 由韦达定理证 $w=v$ 即 $x_D=x_E$，再排除 $D=E$ 的退化情形

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 双曲线方程与直线位置关系是圆锥曲线压轴的标准结构。

结论推广: 离心率 $e=\frac{c}{a}$ 定 $b^2$，数量积条件定 $a^2$；证垂直转证两交点横坐标相等。

方法推广: (2) 用韦达定理统一 $u+v$ 与 $u+w$ 得 $w=v$，把”垂直”转化为”横坐标相等”的代数表达。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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• 2008-湖北文-20 解-双曲线方程与面积定斜率
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