2006-天津文-13 填-三棱柱二面角点面距离

本题导读

本题考查三棱柱中二面角与点到平面的距离。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(文)） 如图，在正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$AB=1$。若二面角 $C-AB-C_1$ 的大小为 $60^{\circ }$，则点 $C$ 到平面 $AB{C}_1$ 的距离为____。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 取 $AB$ 中点 $M$，则 $CM\perp AB$、$C_{1}M\perp AB$，$\angle CM{C}_1$ 为二面角平面角 $=60^{\circ }$。
2. 正三角形 $ABC$ 中 $CM=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由 $60^{\circ }$ 得 $C{C}_1=CM\cdot \tan 60^{\circ }=\frac{3}{2}$。
3. 用三棱锥 $C-AB{C}_1$ 的等体积法：$V=\frac{1}{3}\cdot S_{△ABC}\cdot C{C}_1=\frac{1}{3}\cdot S_{△AB{C}_1}\cdot d$，解 $d=\frac{3}{4}$。

✅【答案】

Success

$\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

取 $AB$ 的中点 $M$。在正三棱柱中 $CM\perp AB$（正三角形中线即高），又 $C_{1}M$ 在侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 内的射影为 $AB$ 的垂直关系，$C_{1}M\perp AB$，故 $\angle CM{C}_1$ 是二面角 $C-AB-C_1$ 的平面角，等于 $60^{\circ }$。 $AB=1$，正三角形 $ABC$ 的高 $CM=\frac{\sqrt{3}}{2}$。在 $\mathrm{Rt}△CM{C}_1$ 中，$\tan 60^{\circ }=\frac{C{C}_1}{CM}$，故 $C{C}_1=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{3}{2}$。 设 $C$ 到平面 $AB{C}_1$ 的距离为 $d$，用等体积法： $V_{C-AB{C}_1}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot C{C}_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{3}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}$； 又 $V=\frac{1}{3}{S}_{△AB{C}_1}\cdot d$。 $S_{△AB{C}_1}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot C_{1}M=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\cdots$，直接求 $C_{1}M$：$C_{1}M=\sqrt{C{M}^2+C{C}_1^2}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{3}$，故 $S_{△AB{C}_1}=\frac{1}{2}\times 1\times \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 于是 $\frac{\sqrt{3}}{8}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot d\Rightarrow d=\frac{3}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱柱二面角点面距离

核心方法：取中点定二面角平面角，等体积法求点面距离

避坑指南：二面角平面角是 $\angle CM{C}_1$（$M$ 为 $AB$ 中点），由 $\tan 60^{\circ }=\frac{C{C}_1}{CM}$ 求高；点面距离用等体积法，别直接当线段 $C{C}_1$ 的投影算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 三棱柱中二面角与点面距离是立体几何填空题的经典组合。

结论推广: 二面角平面角由棱的垂线确定；点面距离用等体积法 $$\begin{gathered} V= \\ dfrac13Sh \end{gathered}$$ 转化。

方法推广: \\tan60^\\circ=\\dfrac{CC_1}{CM} 求柱高，再等体积法求距离，两问一脉相承。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷文-19 解-直三棱柱二面角
• 2011-湖北卷文-18 解-三棱柱垂直与二面角
• 2010-大纲Ⅱ文-19 解-直三棱柱公垂线与二面角