2006-天津文-11 填-二项式特定项系数

本题导读

本题考查二项式定理的特定项系数。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(文)） ${\left(x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^7$ 的二项展开式中 $x$ 的系数是____。（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_7^r{x}^{7-r}{\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^r={\mathrm{C}}_7^r{x}^{7-\frac{3}{2}r}$。
2. 令 $7-\frac{3}{2}r=1$，得 $r=4$。
3. 系数为 ${\mathrm{C}}_7^4=35$。

✅【答案】

Success

$35$

✍【详细解析】

Abstract

展开式通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_7^r{x}^{7-r}\cdot (x^{-\frac{1}{2}}{)}^r={\mathrm{C}}_7^r{x}^{7-\frac{3}{2}r}$。 令 $7-\frac{3}{2}r=1$，解得 $r=4$。 故 $x$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_7^4={\mathrm{C}}_7^3=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式特定项系数

核心方法：通项公式定位 $x$ 的指数为 1 求 $r$

避坑指南：通项 ${\mathrm{C}}_7^r{x}^{7-\frac{3}{2}r}$，令 $7-\frac{3}{2}r=1$ 得 $r=4$，指数是分数 $\frac{3}{2}r$ 别算错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 二项式特定项系数是二项式模块的固定考点。

结论推广: $$\begin{gathered} (x+ \\ dfrac1 \\ sqrtx{)}^7 \end{gathered}$$ 通项 $$\begin{gathered} mathrm{C}_7^r{x}^{7- \\ frac32r} \end{gathered}$$，令指数等于目标次数解 $r$。

方法推广: 指数是 $$\begin{gathered} 7- \\ dfrac32r \end{gathered}$$（含分数），列方程时别把 $dfrac32$ 漏掉。

🔗【关联脉络】

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