2006-天津文-10 单-指数型复合函数单调性

本题导读

本题考查复合函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(文)） 如果函数 $f(x)=a^x(a^x-3a^2-1)$（$a>0$ 且 $a\ne 1$）在区间 $[0,+\infty )$ 上是增函数，那么实数 $a$ 的取值范围是()

A. $\left(0,\frac{2}{3}\right]$　　　　B. $\left[\frac{\sqrt{3}}{3},1\right)$　　　　C. $(1,\sqrt{3}]$　　　　D. $\left[\frac{3}{2},+\infty \right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $t=a^x$，则 $f=g(t)=t^2-(3a^2+1)t$，开口向上，对称轴 $t_0=\frac{3a^2+1}{2}$。
2. 当 $a>1$ 时 $t\in [1,+\infty )$ 递增，$g(t)$ 在 $[1,+\infty )$ 上增需 $t_0⩽1$，即 $3a^2+1⩽2\Rightarrow a^2⩽\frac{1}{3}$，与 $a>1$ 矛盾。
3. 当 $0<a<1$ 时 $t\in (0,1]$ 递减，$g(t)$ 在 $(0,1]$ 上减需 $t_0⩾1$，即 $3a^2+1⩾2\Rightarrow a^2⩾\frac{1}{3}$，得 $\frac{\sqrt{3}}{3}⩽a<1$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=a^x$（$t>0$），则 $f(x)=g(t)=t^2-(3a^2+1)t$，$g(t)$ 是开口向上的二次函数，对称轴 $t_0=\frac{3a^2+1}{2}$。 $x\in [0,+\infty )$ 时： 若 $a>1$，则 $t=a^x$ 从 $1$ 递增到 $+\infty$，要 $f$ 增须 $g(t)$ 在 $[1,+\infty )$ 上增，需 $t_0⩽1$，即 $3a^2+1⩽2\Rightarrow a^2⩽\frac{1}{3}$，与 $a>1$ 矛盾，无解。 若 $0<a<1$，则 $t$ 从 $1$ 递减到 $0^{+}$，要 $f$ 增须 $g(t)$ 在 $(0,1]$ 上减，需 $t_0⩾1$，即 $3a^2+1⩾2\Rightarrow a^2⩾\frac{1}{3}$，又 $a>0$，故 $\frac{\sqrt{3}}{3}⩽a<1$。 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数型复合函数单调性

核心方法：令 $t=a^x$ 换元，转二次函数分 $a>1$、$0<a<1$ 讨论单调性

避坑指南：$a>1$ 与 $0<a<1$ 时 $t$ 的单调方向相反，结论也不同；$a>1$ 分支无解，别遗漏这一讨论或误并两类结果

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 指数型复合函数单调性是函数模块的中档题。

结论推广: 复合函数单调性遵循”同增异减”，换元 $t=a^x$ 后转二次函数，分 $a>1$ 与 $0<a<1$ 讨论。

方法推广: 换元后结合 $t$ 的增减方向与二次函数的单调区间，分两类讨论再合并（本题 $a>1$ 无解）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-10 填-指数函数单调性
• 2012-浙江卷文-10 单-指数函数单调性比较
• 2013-湖南卷理-16 填-指数函数、函数的单调性与零点