2006-天津文-04 单-对数比较大小

本题导读

本题考查对数函数的大小比较。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(文)） 设 $P={\log }_{2}3$，$Q={\log }_{3}2$，$R={\log }_2({\log }_{3}2)$，则()

A. $R<Q<P$　　　　　B. $P<R<Q$　　　　　C. $Q<R<P$　　　　　D. $R<P<Q$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $P={\log }_{2}3>{\log }_{2}2=1$。
2. $Q={\log }_{3}2$，由 $1<2<3$ 得 $0<Q<1$。
3. $R={\log }_2({\log }_{3}2)={\log }_{2}Q$，因 $0<Q<1$，故 $R<0$。
4. 综上 $R<0<Q<1<P$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$P={\log }_{2}3>{\log }_{2}2=1$； $Q={\log }_{3}2$，因底数 $3>1$ 且 $1<2<3$，故 $0<Q<1$； $R={\log }_2({\log }_{3}2)={\log }_{2}Q$，因 $0<Q<1$，故 ${\log }_{2}Q<0$，即 $R<0$。 综上 $R<0<Q<1<P$，即 $R<Q<P$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数比较大小

核心方法：用 0、1 两个媒介值给各对数值分段定位

避坑指南：${\log }_{3}2\in (0,1)$，${\log }_2({\log }_{3}2)<0$；先定位每段再排序，别硬算近似值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 指对数比较大小是天津卷常考小题，常与媒介值法结合。

结论推广: 对 $0<a<1$ 的底数，${\log }_a$ 单调递减，真数大则值小。

方法推广: 给每个数定位到 $(-\infty ,0)$、$(0,1)$、$(1,+\infty )$ 三段之一，一次排定顺序。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-02 单-对数比较大小
• 2009-天津文-05 单-指对数比较大小
• 2010-天津文-06 单-指对数比较大小