2006-四川卷理-19 解-三棱锥的体积公式

本题导读

本题考查长方体中的线面平行证明、二面角求解及三棱锥体积计算。利用长方体三条交于同一顶点的棱两两垂直的性质建立空间直角坐标系，能够实现对各问的精确量化计算。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(理)） 如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $E、P$ 分别是 $BC、A_1{D}_1$ 的中点， $M、N$ 分别是 $AE、C{D}_1$ 的中点， $AD=A{A}_1=a,AB=2a$.

(1) 求证： $M_N\parallel$ 面 $AD{D}_1{A}_1$；

(2) 求二面角 $P-AE-D$ 的大小；

(3) 求三棱锥 $P-DEN$ 的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

构筑直角坐标系：以 $D$ 为原点，射线 $DA,DC,D{D}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。写出所有已知顶点的坐标，利用中点坐标公式求出 $E,P,M,N$ 的坐标。 第一问：求出向量 $\overrightarrow{MN}$。计算平面 $AD{D}_1{A}_1$ 的法向量 ${\vec{n}}_1=(0,1,0)$。验证 $\overrightarrow{MN}\cdot {\vec{n}}_1=0$ 且 $M\notin$ 平面 $AD{D}_1{A}_1$，从而证明线面平行。 第二问：分别求出平面 $PAE$ 的法向量 ${\vec{n}}_2$ 与平面 $DAE$（即底面 $ABCD$）的法向量 ${\vec{n}}_3=(0,0,1)$。利用向量夹角余弦公式求出 $\cos ⟨{\vec{n}}_2,{\vec{n}}_3⟩$，结合图形判定二面角的大小。 第三问：可采用等体积转换法 $V_{P-DEN}=V_{N-PDE}$，利用点 $N$ 到平面 $PDE$ 的距离（可由向量投影求得）以及 $△PDE$ 的面积计算体积。

✅【答案】

Success

（1）证明见解析；（2）$\arccos \frac{2\sqrt{21}}{21}$（即 $\arctan \frac{\sqrt{17}}{2}$）；（3）$\frac{a^3}{6}$．

✍【详细解析】

Abstract

解：因为 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 是长方体，所以从顶点 $D$ 出发的三条棱 $DA,DC,D{D}_1$ 两两互相垂直。 以 $D$ 为坐标原点，射线 $DA$ 方向为 $x$ 轴正方向，射线 $DC$ 方向为 $y$ 轴正方向，射线 $D{D}_1$ 方向为 $z$ 轴正方向，建立空间直角坐标系 $D-xyz$。

根据已知条件 $AD=A{A}_1=a,AB=2a$，确定各顶点坐标如下： $D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0)$ $D_1(0,0,a),A_1(a,0,a),B_1(a,2a,a),C_1(0,2a,a)$

由中点特征， 依次求出以下各点的坐标：

• $E$ 是 $BC$ 的中点 $⟹E\left(\frac{a+0}{2},\frac{2a+2a}{2},\frac{0+0}{2}\right)⟹E\left(\frac{a}{2},2a,0\right)$
• $P$ 是 $A_1{D}_1$ 的中点 $⟹P\left(\frac{a+0}{2},\frac{0+0}{2},\frac{a+a}{2}\right)⟹P\left(\frac{a}{2},0,a\right)$
• $M$ 是 $AE$ 的中点 $⟹M\left(\frac{a+\frac{a}{2}}{2},\frac{0+2a}{2},\frac{0+0}{2}\right)⟹M\left(\frac{3a}{4},a,0\right)$
• $N$ 是 $C{D}_1$ 的中点 $⟹N\left(\frac{0+0}{2},\frac{2a+0}{2},\frac{0+a}{2}\right)⟹N\left(0,a,\frac{a}{2}\right)$

(1) 证明：根据上述求得的坐标，写出向量 $\overrightarrow{MN}$ 的坐标： $\overrightarrow{MN}=\left(0-\frac{3a}{4},a-a,\frac{a}{2}-0\right)=\left(-\frac{3a}{4},0,\frac{a}{2}\right)$ 观察平面 $AD{D}_1{A}_1$，其严格分布在 $xOz$ 坐标平面内，其法向量平行于 $y$ 轴。 取其一个标准法向量为： ${\vec{n}}_1=(0,1,0)$ 计算向量 $\overrightarrow{MN}$ 与法向量 ${\vec{n}}_1$ 的数量积： $\overrightarrow{MN}\cdot {\vec{n}}_1=-\frac{3a}{4}\times 0+0\times 1+\frac{a}{2}\times 0=0$ 因为 $\overrightarrow{MN}\perp {\vec{n}}_1$，说明直线 $M_N$ 平行于平面 $AD{D}_1{A}_1$ 所在的方位。 又因为点 $M\left(\frac{3a}{4},a,0\right)$ 的纵坐标不为 0， 故 $M\notin$ 平面 $AD{D}_1{A}_1$。 所以， $M_N\parallel$ 面 $AD{D}_1{A}_1$。

(2) 解：为了求二面角 $P-AE-D$ 的大小，需先求出两相交半平面的法向量。

• 平面 $DAE$ 的法向量：由于平面 $DAE$ 即为长方体的底面 $ABCD$（ $xOy$ 平面），其法向量垂直于底面，直接取其法向量为： ${\vec{n}}_3=(0,0,1)$
• 平面 $PAE$ 的法向量：设平面 $PAE$ 的法向量为 ${\vec{n}}_2=(x,y,z)$。写出平面内的两个方向向量： $\overrightarrow{AP}=\left(\frac{a}{2}-a,0-0,a-0\right)=\left(-\frac{a}{2},0,a\right)$ $\overrightarrow{AE}=\left(\frac{a}{2}-a,2a-0,0-0\right)=\left(-\frac{a}{2},2a,0\right)$ 由法向量垂直建立联立方程组： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{AP}=-\frac{a}{2}x+az=0⟹x=2z\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{AE}=-\frac{a}{2}x+2ay=0⟹2ay=\frac{a}{2}(2z)=az⟹y=\frac{1}{2}z\end{array}$ 令 $z=2⟹x=4,y=1$，求得平面 $PAE$ 的法向量为： ${\vec{n}}_2=(4,1,2)$

设二面角 $P-AE-D$ 的平面角大小为 $\alpha$。计算两法向量夹角的余弦值： $\cos ⟨{\vec{n}}_2,{\vec{n}}_3⟩=\frac{{\vec{n}}_2\cdot {\vec{n}}_3}{|{\vec{n}}_2|\cdot |{\vec{n}}_3|}=\frac{4\times 0+1\times 0+2\times 1}{\sqrt{4^2+1^2+2^2}\times \sqrt{1}}=\frac{2}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}$ 由图几何结构直观可见，该二面角为锐角。 所以，二面角 $P-AE-D$ 的大小为 $\arccos \frac{2\sqrt{21}}{21}$。

(3) 解：利用等体积转化法， 将三棱锥 $P-DEN$ 的底面转换至容易计算底面积和高所在的方位： $V_{P-DEN}=V_{N-PDE}$ 在平面 $xOz$ 内分析 $△PDE$ 的投影。由于 $E\left(\frac{a}{2},2a,0\right),P\left(\frac{a}{2},0,a\right),D(0,0,0)$。 此体积采用坐标法更加直观：三棱锥的体积等于由三个顶点向量构成的三阶行列式绝对值的六分之一。 写出以 $D(0,0,0)$ 为公共起点的三个顶点向量： $\overrightarrow{DP}=\left(\frac{a}{2},0,a\right),\overrightarrow{DE}=\left(\frac{a}{2},2a,0\right),\overrightarrow{DN}=\left(0,a,\frac{a}{2}\right)$

利用空间向量的混合积（行列式）直接求解体积： $V=\frac{1}{6}\left|\det \left(\begin{array}{ccc}\frac{a}{2}& 0& a\\ \frac{a}{2}& 2a& 0\\ 0& a& \frac{a}{2}\end{array}\right)\right|$ 依照行列式按第一行展开进行计算： $\det =\frac{a}{2}\left(2a\times \frac{a}{2}-0\times a\right)-0+a\left(\frac{a}{2}\times a-2a\times 0\right)$ $=\frac{a}{2}(a^2)+a\left(\frac{a^2}{2}\right)=\frac{a^3}{2}+\frac{a^3}{2}=a^3$

代回体积公式： $V_{P-DEN}=\frac{1}{6}|a^3|=\frac{1}{6}{a}^3$

(1) 证明见解析； (2) 二面角大小为 $\arccos \frac{2\sqrt{21}}{21}$； (3) 三棱锥的体积为 $\frac{1}{6}{a}^3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：长方体空间直角坐标系的规范建立、线面平行的法向量垂直判定（ $\vec{a}\cdot \vec{n}=0$）、两相交平面法向量夹角求解二面角、三阶行列式（混合积）快捷求解空间三棱锥体积。
• 核心方法：空间向量坐标法、等体积转换法。
• 避坑指南：
• 第一问不仅要证向量数量积为 0（即方向垂直），还必须规范写出“点 $M$ 不在平面内”这一判据，以防止直线本身落在平面内部。
• 第三问求体积时，若不用行列式，推荐使用等体积转换法将底面设为 $△PDE$，利用 $N$ 点的 $y$ 轴坐标差求高，防止直接去求 $△DEN$ 的不规则面积导致计算量过载。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查解析长方体空间线面综合位置关系最经典的立体几何压轴大题。 结论推广: 在任意长方体中， 三棱锥的体积可统一采用其三个邻边方向向量的标量三重积（混合积）进行绝对化定量，即 $V=\frac{1}{6}|(\vec{u}\times \vec{v})\cdot \vec{w}|$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01 空间向量及其运算
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2007-四川卷理-19 解-棱锥体积公式
• 2007-四川文-19 解-面面垂直二面角与体积
• 2007-湖北文-17 解-三棱锥体积与角