2006-四川卷理-17 解-三角形内角和定理

本题导读

本题考查向量数量积、三角恒等变换与解三角形的综合应用。第一问通过向量坐标数量积结合辅助角公式求解角 $A$；第二问将分子分母统一进行二倍角展开或齐次化切，求出 $\tan B$，再利用内角和定理求得 $\tan C$。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(理)） 已知 $A、B、C$ 是 $△ABC$ 三内角，向量 $\vec{m}=(-1,\sqrt{3})$， $\vec{n}=(\cos A,\sin A)$，且 $\vec{m}\cdot \vec{n}=1$.

(1) 求角 $A$；

(2) 若 $\frac{1+\sin 2B}{{\cos }^{2}B-{\sin }^{2}B}=-3$，求 $\tan C$.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：利用向量数量积的坐标公式 $\vec{m}\cdot \vec{n}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 展开得到 $-\cos A+\sqrt{3}\sin A=1$。用辅助角公式合并，结合三角形内角范围求出角 $A$。 第二问：已知等式左边的分母是 $\cos 2B$。将分子“1”代换为 ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B$，把全式转化为关于 $\sin B,\cos B$ 的二次齐次式，分子分母同除以 ${\cos }^{2}B$ 转化为关于 $\tan B$ 的方程，求出 $\tan B$。最后由 $C=\pi -(A+B)$，通过两角和的正切公式求解 $\tan C$。

✅【答案】

Success

（1）$A=\frac{\pi }{3}$；（2）$\tan C=\frac{8+5\sqrt{3}}{11}$

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 因为 $\vec{m}=(-1,\sqrt{3})$， $\vec{n}=(\cos A,\sin A)$，且 $\vec{m}\cdot \vec{n}=1$， 根据向量数量积的坐标计算公式展开得： $-\cos A+\sqrt{3}\sin A=1⟹\sqrt{3}\sin A-\cos A=1$ 用辅助角公式（提取系数 $\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}=2$）： $2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin A-\frac{1}{2}\cos A\right)=1⟹\sin A\cos \frac{\pi }{6}-\cos A\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ 由两角差的正弦公式： $\sin \left(A-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$ 因为 $A$ 是 $△ABC$ 的内角，所以 $0<A<\pi$，对应的相位范围为： $-\frac{\pi }{6}<A-\frac{\pi }{6}<\frac{5\pi }{6}$ 在此范围内，满足正弦值为 $\frac{1}{2}$ 的角有且仅有一个： $A-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}⟹A=\frac{\pi }{3}$

(2) 对已知的三角分式方程进行恒等变形。 分子变形： $1+\sin 2B=({\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B)+2\sin B\cos B=(\sin B+\cos B{)}^2$； 分母变形： ${\cos }^{2}B-{\sin }^{2}B=(\cos B-\sin B)(\cos B+\sin B)$。 代入原式： $\frac{(\sin B+\cos B{)}^2}{(\cos B-\sin B)(\cos B+\sin B)}=-3$ 由于 $△ABC$ 中分母不为 0，约去公共因式 $(\cos B+\sin B)$ 得： $\frac{\cos B+\sin B}{\cos B-\sin B}=-3$ 分子与分母同时除以 $\cos B$（将弦变切）： $\frac{1+\tan B}{1-\tan B}=-3$ 解该关于 $\tan B$ 的分式方程： $1+\tan B=-3(1-\tan B)⟹1+\tan B=-3+3\tan B$ $2\tan B=4⟹\tan B=2$

在 $△ABC$ 中，由于 $A+B+C=\pi ⟹C=\pi -(A+B)$。 利用诱导公式及两角和的正切公式： $\tan C=\tan [\pi -(A+B)]=-\tan (A+B)=-\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$ 由 (1) 可知 $A=\frac{\pi }{3}⟹\tan A=\sqrt{3}$，与 $\tan B=2$ 一同代入： $\tan C=-\frac{\sqrt{3}+2}{1-2\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}$ 分子分母同时有理化（乘以 $2\sqrt{3}+1$）： $\tan C=\frac{(2+\sqrt{3})(2\sqrt{3}+1)}{(2\sqrt{3}-1)(2\sqrt{3}+1)}=\frac{4\sqrt{3}+2+6+\sqrt{3}}{12-1}=\frac{8+5\sqrt{3}}{11}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：向量坐标数量积、两角差的正弦公式、齐次化切、两角和的正切公式。
• 核心方法：弦化切法、约分法。
• 避坑指南：
• 第一问解出 $A-\frac{\pi }{6}$ 后，要在三角形内角范围内检验相位边界，防止写出多解。
• 第二问用完全平方公式约分，最后一步 $\tan (A+B)$ 前有负号，有理化时注意符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题综合考查三角恒等变换与解三角形。 结论推广: 对形如 $\frac{1+\sin 2\theta }{{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }=k$ 的方程，可化简为 $\tan \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=k$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2007-山东文-17 解-正切求余弦与余弦定理
• 2008-重庆文-17 解-余弦定理角与恒等变换
• 2009-天津文-17 解-正余弦定理二倍角