2006-四川卷理-16 填-新定义“融洽集”的代数结构判定

本题导读

本题是一道新定义代数结构创新题。核心在于理解“融洽集”的两个核心条件：一是集合对该运算满足封闭性（任意两元素运算结果仍在集合内）；二是该运算在集合内存在单位元（幺元 $e$）。通过逐一检验五个命题对应的集合与运算是否同时满足这两个条件来完成判定。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(理)） 非空集合 $G$ 关于运算 $\oplus$ 满足：(1) 对任意 $a、b\in G$，都有 $a\oplus b\in G$；(2) 存在 $e\in G$，使得对一切 $a\in G$，都有 $a\oplus e=e\oplus a=a$，则称 $G$ 关于运算 $\oplus$ 为“融洽集”. 现给出下列集合和运算： ① $G=\{\text{非负整数}\}$， $\oplus$ 为整数的加法； ② $G=\{\text{偶数}\}$， $\oplus$ 为整数的乘法； ③ $G=\{\text{平面向量}\}$， $\oplus$ 为平面向量的加法； ④ $G=\{\text{二次三项式}\}$， $\oplus$ 为多项式的加法； ⑤ $G=\{\text{虚数}\}$， $\oplus$ 为复数的乘法. 其中 $G$ 关于运算 $\oplus$ 为“融洽集”的是$\underline{}$. (写出所有“融洽集”的序号)

🔍【思路分析】

破题导航

剖析“融洽集”的两个核心判据：

• 条件(1)——封闭性：在 $G$ 中任意找两个元素进行 $\oplus$ 运算，产生的新结果绝不能跑出 $G$ 的范围。
• 条件(2)——存在单位元 $e$：在 $G$ 中必须能找到一个特殊的“影子元素” $e$，任何元素与其运算都保持自身大小原封不动，且这个 $e$ 本身必须属于集合 $G$。 逐个检验命题：
• 命题①：非负整数加法仍为非负数（封闭），单位元是 0（ 0 是非负整数，合格）。
• 命题②：偶数乘偶数仍为偶数（封闭），乘法的单位元本应是 1，但 1 不是偶数，在偶数集里不存在。
• 命题③：向量加向量仍为向量（封闭），加法单位元是零向量 $\vec{0}$（属于平面向量，合格）。
• 命题④：二次三项式加法（如 $(x^2+x+1)+(-x^2+1)=x+2$）最高次项可能抵消退化为一次，不封闭。
• 命题⑤：虚数乘法不封闭（如 $\text{i}\cdot \text{i}=-1$ 不是虚数）。

✅【答案】

Success

$\text{(1)}\text{(3)}$

✍【详细解析】

Abstract

解：根据新定义中“融洽集”的两个判定条件，对五个选项逐一进行严密推导：

• 对①进行分析： $G=\{\text{非负整数}\}=\{0,1,2,3,\dots \}$， $\oplus$ 为加法。

• 条件(1)封闭性：任意两个非负整数相加，其和必定仍是非负整数。满足封闭性。

• 条件(2)单位元：对于任意非负整数 $a$，存在整数 $0$ 使得 $a+0=0+a=a$。由于 $0$ 属于非负整数集，即 $e=0\in G$ 存在。满足单位元条件。 因此，①是“融洽集”。

• 对②进行分析： $G=\{\text{偶数}\}=\{\dots ,-2,0,2,4,\dots \}$， $\oplus$ 为乘法。

• 条件(1)封闭性：任意两个偶数相乘，其积必定仍是偶数（例如 $2\times 4=8\in G$）。满足封闭性。

• 条件(2)单位元：在整数乘法中，要使 $a\cdot e=a$ 恒成立，唯一可能的单位元是 $e=1$。然而，数字 1 是一个奇数，严格不属于偶数集合 $G$（即 $1\notin G$）。 因此，②不是“融洽集”。

• 对③进行分析： $G=\{\text{平面向量}\}$， $\oplus$ 为平面向量的加法。

• 条件(1)封闭性：任意两个平面向量进行求和运算，其结果依然是一个合法的平面向量。满足封闭性。

• 条件(2)单位元：对于任意平面向量 $\vec{a}$，存在零向量 $\vec{0}$ 使得 $\vec{a}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{a}=\vec{a}$。由于零向量本身也是平面向量的一种特例（即 $e=\vec{0}\in G$）。满足单位元条件。 因此，③是“融洽集”。

• 对④进行分析： $G=\{\text{二次三项式}\}=\{a{x}^2+bx+c\mid a\ne 0\}$， $\oplus$ 为多项式的加法。

• 条件(1)封闭性：考虑构造两个互为相反数的最高次项。令多项式 $f(x)=x^2+x+1\in G$， $g(x)=-x^2+x+1\in G$。 将两者相加： $f(x)+g(x)=2x+2$。 此时，最高次项 $x^2$ 的系数变为了 0，结果退化为了一个一次二项式，不再属于二次三项式集合 $G$。 也就是说，多项式加法在“二次三项式”集合内部不满足封闭性。 因此，④不是“融洽集”。

• 对⑤进行分析： $G=\{\text{虚数}\}=\{x+y\text{i}\mid y\ne 0\}$， $\oplus$ 为复数的乘法。

• 条件(1)封闭性：任取虚数 $a=\text{i}\in G$ 和 $b=\text{i}\in G$。 进行乘法运算： $a\cdot b=\text{i}\cdot \text{i}={\text{i}}^2=-1$。 结果 $-1$ 是一个纯实数，不再属于虚数集合 $G$。 也就是说，复数乘法在“虚数”集合内部不满足封闭性。 因此，⑤不是“融洽集”。

综上所述，完全符合“融洽集”定义的只有 ① 和 ③。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：抽象代数中的代数系统概念、算子对数集的封闭性审查、单位元（恒等元）在给定集合内部的相容性检查。
• 核心方法：反例排除法（针对封闭性）、边界元素隶属度核对法（针对单位元）。
• 避坑指南：
• 命题②是极易失分的陷阱。考生容易想到乘法单位元是 1，却习惯性忽略了 “单位元 $e$ 必须属于集合 $G$ 本身” 的刚性制约。因 $1$ 不是偶数，故在偶数世界里无单位元。
• 命题④和⑤在判定封闭性时，要树立“边界极端化”思维。对于加法，想办法消掉最高次项（正负抵消）；对于虚数乘法，利用 ${\text{i}}^2=-1$ 直接将其转化为实数，即可一秒识破其不封闭。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查大学高等代数/近世代数中群论（Group Theory）的最经典的高观点压轴填空题。题目新定义的“融洽集”，在现代数学中对应的严密学术名称叫做含幺半群（Monoid）。 结论推广: 一个代数系统要升级为半群或群，其首要的刚性基石恒满足：① 运算在集合内部绝对闭合；② 内部蕴含唯一的全局恒等幺元。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2008-福建文-16 填-数域新定义
• 2010-四川卷文-16 填-封闭集新定义
• 2009-四川卷文-16 填-线性变换新定义