2006-四川卷理-15 填-焦点弦与对称点的焦半径之和

本题导读

本题考查椭圆的几何性质及焦半径序列求和。核心在于敏锐地抓住椭圆关于 $y$ 轴的完美左右对称性，将这 7 个点的焦半径按照关于中心对称的临界位置进行两两配对，巧妙地应用椭圆第一定义转化为长轴长常量完成解算。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(理)） 如图，把椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 的长轴 $AB$ 分成 8 等分，过每个分点作 $x$ 轴的垂线交椭圆的上半部分于 $P_1、P_2、\dots 、P_7$ 七个点， $F$ 是椭圆的一个焦点，则 $|P_{1}F|+|P_{2}F|+\cdots +|P_{7}F|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

提取椭圆核心常数：由标准方程 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1⟹a^2=25⟹a=5$。长轴长为 $2a=10$。 分析等分点分布：长轴自左顶点 $A(-5,0)$ 到右顶点 $B(5,0)$。被 8 等分后，产生 7 个内部垂直分点。根据数轴分布，这 7 个分点的横坐标关于原点（ $y$ 轴）呈现最完美的左右对称：

• $P_1$ 与 $P_7$ 关于 $y$ 轴左右对称；
• $P_2$ 与 $P_6$ 关于 $y$ 轴左右对称；
• $P_3$ 与 $P_5$ 关于 $y$ 轴左右对称；
• 中间点 $P_4$ 恰好落在 $y$ 轴上。 巧用定义转换求和：设椭圆的另一个焦点为 $F^{\prime }$。由左右对称性可知，点 $P_7$ 到焦点 $F$ 的距离，在几何上严格等于其对称点 $P_1$ 到另一个焦点 $F^{\prime }$ 的距离，即 $|P_{7}F|=|P_1{F}^{\prime }|$。 两两配对合并：将和式中的对称项两两重组： $|P_{1}F|+|P_{7}F|=|P_{1}F|+|P_1{F}^{\prime }|$。根据椭圆第一定义，动点到两焦点的距离之和恒等于长轴长 $2a$。由此实现对整条和式的合并。

✅【答案】

Success

$35$

✍【详细解析】

Abstract

解：对于已知椭圆标准方程 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，其参数满足 $a^2=25⟹a=5$。 该椭圆的长轴长为： $2a=2\times 5=10$ 长轴的左右两顶点坐标分别为 $A(-5,0)$ 和 $B(5,0)$。

将长轴 $AB$ 严格进行 8 等分，在长轴内部一共产生了 7 个垂直分点。因为作的是 $x$ 轴的垂线，交椭圆上边部分得到的 7 个交点 $P_1,P_2,\dots ,P_7$。 由椭圆形状关于 $y$ 轴具有完美的左右轴对称性，这 7 个对应点的横坐标满足严格的相反数对称，即：

• 点 $P_1$ 与点 $P_7$ 关于 $y$ 轴左右对称；
• 点 $P_2$ 与点 $P_6$ 关于 $y$ 轴左右对称；
• 点 $P_3$ 与点 $P_5$ 关于 $y$ 轴左右对称；
• 点 $P_4$ 恰好落在 $y$ 轴上（即为上顶点，横坐标 $x_4=0$）。

设该椭圆与已知焦点 $F$ 相对称的另一个焦点为 $F^{\prime }$。 根据椭圆的几何对称特征： 一个点到其中一个焦点的距离，必定等于其关于 $y$ 轴的轴对称点到另一个焦点的距离。 由此可得到以下恒等线段代换关系： $|P_{7}F|=|P_1{F}^{\prime }|$ $|P_{6}F|=|P_2{F}^{\prime }|$ $|P_{5}F|=|P_3{F}^{\prime }|$

现在将题目要求求解的 7 项焦半径之和式（记为 $S$）进行重组配对： $S=|P_{1}F|+|P_{2}F|+|P_{3}F|+|P_{4}F|+|P_{5}F|+|P_{6}F|+|P_{7}F|$ 将上述对称代换式代入尾部三项中： $S=(|P_{1}F|+|P_1{F}^{\prime }|)+(|P_{2}F|+|P_2{F}^{\prime }|)+(|P_{3}F|+|P_3{F}^{\prime }|)+|P_{4}F|$

根据椭圆的第一定义：“椭圆上的动点到两定焦点的距离之和等于固定常数 $2a$”： $|P_{1}F|+|P_1{F}^{\prime }|=2a=10$ $|P_{2}F|+|P_2{F}^{\prime }|=2a=10$ $|P_{3}F|+|P_3{F}^{\prime }|=2a=10$

对于中间处于对称中心轴上的点 $P_4$（上顶点）： 由于它落在 $y$ 轴上，到两焦点的距离相等。根据直角三角形几何关系（或直接由第一定义等分）： $|P_{4}F|=\frac{1}{2}(|P_{4}F|+|P_4{F}^{\prime }|)=\frac{1}{2}\times 2a=a=5$

将所有子项的化简计算结果代回总和式 $S$ 中： $S=10+10+10+5=35$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：椭圆关于坐标轴的完美对称性、椭圆第一定义几何内涵的转换、对称项焦半径的配对消元技巧。
• 核心方法：对称点代换法、定义配对求和法。
• 避坑指南：
• 很多考生倾向于利用第二定义写出焦半径公式 $|P_{k}F|=a-e{x}_k$，然后通过 $\sum x_k=0$ 求解。这也是一种简洁的代数路径： $\sum |P_{k}F|=\sum (a-e{x}_k)=7a-e\sum x_k$。由于 $x_1+x_7=0,x_2+x_6=0,x_3+x_5=0,x_4=0⟹\sum x_k=0$。直接得出 $S=7a=7\times 5=35$。
• 无论用哪种路径，中间项 $P_4$ 只有单项（长为 $a=5$），配对时千万不要重算或漏掉这一项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查圆锥曲线几何定义与对称性融合最为经典的标杆性创新填空题。 结论推广: 针对任何中心在原点、长轴长为 $2a$ 的椭圆， 若将长轴进行 $2n$ 等分，通过其内侧共 $2n-1$ 个垂足引垂直交线交于椭圆单侧，其所有交点到单焦点的距离之和恒满足一个只与长轴和等分数相关的通用定值公式： $S_{\text{总}}=(2n-1)\cdot a$。本题中 $2n=8⟹2n-1=7$，总和即为 $7\times 5=35$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 2010-江苏卷-06 填-双曲线焦半径
• 2011-四川卷文-14 填-双曲线焦半径准线
• 2015-上海卷文-07 填-抛物线焦半径