2006-四川卷理-07 单-正六边形的几何性质

本题导读

正六边形的六个顶点方向相差 $60^{\circ }$，正好是坐标系里最省事的角度。把 $P_1$ 放原点、$\overrightarrow{P_1{P}_2}$ 贴 $x$ 轴，其余五个顶点的坐标全由边长和 $60^{\circ }$ 的整数倍写出，四个选项的数量积就是四组坐标的内积，比大小一目了然。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(理)） 如图，已知正六边形 $P_1{P}_2{P}_3{P}_4{P}_5{P}_6$，下列向量的数量积中最大的是() ()

A. $\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_3}$　　B. $\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_4}$　　C. $\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_5}$　　D. $\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_6}$

🔍【思路分析】

破题导航

统一数量积分析视角：四个选项全部具有公共前项 $\overrightarrow{P_1{P}_2}$。根据平面向量数量积的几何意义， $\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_k}=|\overrightarrow{P_1{P}_2}|\cdot \left(\overrightarrow{P_1{P}_k}\text{ 在 }\overrightarrow{P_1{P}_2}\text{ 方向上的投影}\right)$。 转化为投影长度比对：由于 $|\overrightarrow{P_1{P}_2}|$ 是固定常数， 数量积的大小完全由后项顶点 $P_k$ 在直线 $P_1{P}_2$ 上的正射影位置决定。射影点越靠近 $P_2$ 正方向的无穷远处，数量积就越大。 作图投影判定：依次作出 $P_3,P_4,P_5,P_6$ 在直线 $P_1{P}_2$ 上的垂足，比较各垂足到起点 $P_1$ 的有向距离。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：根据平面向量数量积的几何定义，对于任意两个向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$，其点积公式为 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cos \theta$。 其中， $|\vec{b}|\cos \theta$ 在几何上代表向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 轴向上的正射影的数量。 观察本题的四个选项， 每一个代数式都包含公共向量 $\overrightarrow{P_1{P}_2}$： $\text{选项(A): }\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_3}=|\overrightarrow{P_1{P}_2}|\cdot \left(\overrightarrow{P_1{P}_3}\text{ 在 }\overrightarrow{P_1{P}_2}\text{ 方向上的投影}\right)$ $\text{选项(B): }\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_4}=|\overrightarrow{P_1{P}_2}|\cdot \left(\overrightarrow{P_1{P}_4}\text{ 在 }\overrightarrow{P_1{P}_2}\text{ 方向上的投影}\right)$ $\text{选项(C): }\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_5}=|\overrightarrow{P_1{P}_2}|\cdot \left(\overrightarrow{P_1{P}_5}\text{ 在 }\overrightarrow{P_1{P}_2}\text{ 方向上的投影}\right)$ $\text{选项(D): }\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_6}=|\overrightarrow{P_1{P}_2}|\cdot \left(\overrightarrow{P_1{P}_6}\text{ 在 }\overrightarrow{P_1{P}_2}\text{ 方向上的投影}\right)$

为了比对出最大值，我们以直线 $P_1{P}_2$ 为基准投影轴。分别过正六边形的顶点 $P_3,P_4,P_5,P_6$ 向直线 $P_1{P}_2$ 引垂线，寻找它们对应的垂足。

根据正六边形的轴对称和角度特征（每个内角为 $120^{\circ }$）：

• 对于点 $P_3$：由于 $\angle P_1{P}_2{P}_3=120^{\circ }$，过 $P_3$ 作 $P_1{P}_2$ 延长线的垂线，垂足记为 $M_3$。在直角 $△P_2{M}_3{P}_3$ 中， $\angle P_3{P}_2{M}_3=60^{\circ }$。若设正六边形边长为 1，则 $P_2{M}_3=1\times \cos 60^{\circ }=0.5$。 此时 $\overrightarrow{P_1{P}_3}$ 在 $\overrightarrow{P_1{P}_2}$ 上的投影长度为： $P_1{M}_3=P_1{P}_2+P_2{M}_3=1+0.5=1.5$。
• 对于点 $P_4$：根据正六边形的平行与对称性质，线段 $P_4{P}_3$ 严格垂直于底边 $P_1{P}_2$ 的延长线。因此，过顶点 $P_4$ 向直线 $P_1{P}_2$ 作垂线，其垂足恰好与 $P_3$ 的垂足 $M_3$ 完美重合。 此时 $\overrightarrow{P_1{P}_4}$ 在 $\overrightarrow{P_1{P}_2}$ 上的投影长度同样为： $P_1{M}_3=1.5$。
• 对于点 $P_5$：根据正六边形的对称性，线段 $P_5{P}_6$ 垂直于 $P_1{P}_2$。过 $P_5$ 作直线 $P_1{P}_2$ 的垂线，其垂足记为 $M_5$，该垂足恰好落在线段 $P_1{P}_2$ 的反向延长线一侧（或说与过 $P_6$ 的垂足重合）。 通过几何对称计算可知，其投影长度为： $P_1{M}_5=0.5$。
• 对于点 $P_6$：同理，过 $P_6$ 作 $P_1{P}_2$ 的垂线，垂足为 $M_5$，其投影长度为 $0.5$。

经过对四个顶点的射影比对， 发现 $\overrightarrow{P_1{P}_3}$ 和 $\overrightarrow{P_1{P}_4}$ 在 $\overrightarrow{P_1{P}_2}$ 方向上的正射影分量最长（数值均为 1.5）。 因此，数量积最大的项必然在 (A) 和 (B) 之中。

下面对 (A) 和 (B) 进行精确的特值定量化简验算（设正六边形边长为 1）：

• 计算 (A) 项：已知 $|\overrightarrow{P_1{P}_2}|=1$。由正六边形几何关系易知 $\angle P_2{P}_1{P}_3=30^{\circ }$，且对角线 $P_1{P}_3=\sqrt{3}$。 $\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_3}=1\times \sqrt{3}\times \cos 30^{\circ }=\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}=1.5$
• 计算 (B) 项：已知对角线 $P_1{P}_4$ 为正六边形的中心对称主轴，其长度为边长的 2 倍，即 $P_1{P}_4=2$。且主轴平分内角， $\angle P_2{P}_1{P}_4=60^{\circ }$。 $\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_4}=1\times 2\times \cos 60^{\circ }=2\times \frac{1}{2}=1$

(自我校对：前文利用几何投影法得出两者的投影长度均为 1.5，根据数量积定义，点积等于 $|\overrightarrow{P_1{P}_2}|\times 投影长度=1\times 1.5=1.5$。重新审视 B 项纯向量计算： $1\times 2\times \cos 60^{\circ }=1$？等等， $P_4$ 在 $P_1{P}_2$ 上的投影垂足为什么和 $P_3$ 重合？我们在正六边形中连接 $P_4{P}_3$，由于 $\angle P_2{P}_3{P}_4=120^{\circ }$， $P_2{P}_3=P_3{P}_4=1⟹△P_2{P}_3{P}_4$ 是等腰三角形， $\angle P_3{P}_2{P}_4=30^{\circ }$。而 $\angle P_1{P}_2{P}_3=120^{\circ }$，所以 $\angle P_1{P}_2{P}_4=120^{\circ }-30^{\circ }=90^{\circ }$！因此 $P_4{P}_2\perp P_1{P}_2$，也就是说 $P_4$ 在直线 $P_1{P}_2$ 上的垂足恰好是点 $P_2$ 本身！由此纠正前文初等几何作图直觉： $\overrightarrow{P_1{P}_4}$ 在 $\overrightarrow{P_1{P}_2}$ 上的投影长度就是 $P_1{P}_2$ 的长度，即为 1。其数量积 $1\times 1=1$。而 $P_3$ 的垂足在外侧，投影长为 1.5，数量积为 1.5)

由此确证，四个选项的数量积具体数值分别为： (A) 1.5 ； (B) 1 ； (C) 0.5 ； (D) -0.5。 数值最大的是 1.5。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面向量数量积的几何投影意义（ $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\times {\text{Projection}}_a\vec{b}$）、正六边形内部关键对角线的垂直与角度关系。
• 核心方法：投影比对法、代数实值计算法。
• 避坑指南：
• 极其容易凭空直觉误认为主对角线 $\overrightarrow{P_1{P}_4}$ 最长所以其数量积最大，从而误选 B。必须牢记数量积不仅取决于向量的绝对长度，更取决于两向量的夹角余弦。 $\overrightarrow{P_1{P}_4}$ 虽然长度为 2 占优，但由于其偏角 $60^{\circ }$ 较大导致投影缩水；而 $\overrightarrow{P_1{P}_3}$ 夹角仅 $30^{\circ }$，高效保留了横向分量，最终反超。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查向量数量积几何投影定义最经典的常规填空/选择标杆题。通过对称的正六边形网格，考查对点积本质的深刻理解。 结论推广: 针对任何以 $P_1{P}_2$ 为基底前项、后项在多边形上绕行旋转的向量点积模型， 其点积大小的变换走势与后项顶点沿基底轴线方向的推进位移具有严格的一维正相关性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-07 单-正六边形向量和
• 2007-四川文-08 单-向量投影相等定关系