2006-四川卷理-06 单-圆的面积公式

本题导读

本题考查动点轨迹方程的求解及其所包围图形的面积计算。核心在于根据给定的两距离代数倍数关系，设出动点坐标列出方程，化简后确定其几何轨迹为圆，进而求出面积。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(理)） 已知两定点 $A(-2,0)、B(1,0)$，如果动点 $P$ 满足 $|PA|=2|PB|$，则点 $P$ 的轨迹所包围的图形的面积等于()

A. $\pi$　　　　　　　　B. $4\pi$　　　　　　　　C. $8\pi$　　　　　　　　D. $9\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

设坐标列方程：设动点 $P$ 的直角坐标为 $(x,y)$。利用平面内两点间的距离公式，将条件 $|PA|=2|PB|$ 展开为坐标形式的代数方程。 消元化简：两边同时作平方处理消去根号，移项合并同类项。 配方确定圆方程：将化简后的二次多项式进行完全平方配方，化为标准圆方程 $(x-x_0{)}^2+y^2=R^2$。 求面积：提取圆的半径 $R$，通过公式 $S=\pi R^2$ 计算出所包围图形的几何面积。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：设动点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$。 根据平面直角坐标系两点间的距离公式，写出动点 $P$ 到两定点 $A(-2,0)$ 和 $B(1,0)$ 的距离代数式： $|PA|=\sqrt{(x+2{)}^2+y^2}$ $|PB|=\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$

由于已知条件满足代数数量关系 $|PA|=2|PB|$，代入得： $\sqrt{(x+2{)}^2+y^2}=2\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$ 两边同时进行平方处理，消去根式号： $(x+2{)}^2+y^2=4\left[(x-1{)}^2+y^2\right]$ 展开多项式： $x^2+4x+4+y^2=4(x^2-2x+1+y^2)$ $x^2+4x+4+y^2=4x^2-8x+4+4y^2$

将左侧所有项移至右侧进行合并同类项： $3x^2-12x+3y^2=0$ 两边同时除以系数 3 简化方程： $x^2-4x+y^2=0$

对关于 $x$ 的一元二次多项式进行完全平方配方（两边同时加上 4）： $(x^2-4x+4)+y^2=4⟹(x-2{)}^2+y^2=2^2$ 根据圆的标准方程定义， 动点 $P$ 的几何轨迹是一个：

• 圆心位于 $(2,0)$
• 半径严格等于 $R=2$ 的圆。

该轨迹圆所包围的图形是一个标准的圆形封闭平面，其面积公式为： $S=\pi R^2=\pi \times 2^2=4\pi$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：两点间距离公式的坐标展开、二元二次多项式配方化圆、圆面积公式的应用。
• 核心方法：坐标解析建式法、配方法。
• 避坑指南：
• 两边平方时，右侧的系数 2 极易因为粗心忘记平方（注意 2 变成 4），这是导致最终方程系数错乱的最常见手误点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是平面几何中最著名的**阿波罗尼斯圆（Apollonius Circle）**定理在高考中的直接体现。 结论推广: 几何定理指出：平面内到两个定点的距离之比为常数 $\lambda$ （$\lambda >0$ 且 $\lambda \ne 1$）的动点轨迹严格恒为一个圆。若两定点相距为 $L$，则对应的阿氏圆半径通用快捷公式为： $R=\frac{\lambda }{|{\lambda }^2-1|}L$。本题中 $L=|AB|=3,\lambda =2$，直接套用公式口算半径： $R=\frac{2}{|4-1|}\times 3=\frac{2}{3}\times 3=2$。利用此阿氏圆半径通式，无需建系即可在考场上秒杀求出半径并直接得出面积 $4\pi$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.02 阿波罗尼斯圆
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2012-湖北卷文-05 单-直线与圆面积差