2006-四川卷理-03 单-函数连续性的判定

本题导读

本题考查分段函数的极限与连续性。核心在于准确区分函数在该点的函数值与趋近于该点时的极限值，并利用连续性的定义判断各命题的真伪。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(理)） 已知 $f(x)=\{\begin{array}{l}2x+3,x\ne 1\\ 2,x=1\end{array}$，下面结论正确的是()

A. $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续　　　　　　　　　　B. $f(1)=5$

C. ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=2$　　　　　　　　　　　　　　D. ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=5$

🔍【思路分析】

破题导航

求函数值 $f(1)$：直接观察 $x=1$ 分支对应的代数式。 求趋近于 1 的极限值：当 $x\to 1^{-}$ 或 $x\to 1^{+}$ 时，均满足 $x\ne 1$。因此应带入 $2x+3$ 的解析式求极限。 检验连续性：验证 ${\lim }_{x\to 1}f(x)=f(1)$ 是否成立。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：对各个选项涉及的函数值与极限值进行分析：

• 关于函数值 $f(1)$： 由分段函数解析式可知，当 $x=1$ 时，对应的函数值严格固定为 $2$。 即 $f(1)=2$。故 (B) 错误。

• 关于左右极限值： 当 $x\to 1^{-}$ 或 $x\to 1^{+}$ 时，自变量 $x$ 仅是无限趋近于 1，但其本身严格不等于 1。 因此，计算极限时应当一律代入 $x\ne 1$ 时的解析式 $2x+3$： ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(2x+3)=2\times 1+3=5$ ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(2x+3)=2\times 1+3=5$ 由此可知，左极限与右极限相等，皆为 5。 即 ${\lim }_{x\to 1}f(x)=5$。故 (C) 错误，(D) 正确。

• 关于连续性判定： 根据函数在某点连续的定义，必须满足 ${\lim }_{x\to 1}f(x)=f(1)$。 然而本题中 ${\lim }_{x\to 1}f(x)=5$，而 $f(1)=2$，二者不相等。 说明函数在该点存在可去间断点，即在 $x=1$ 处不连续。故 (A) 错误。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：极限概念中“趋近而不等于”的本质、分段函数左右极限的代入原则、连续性的充要条件。
• 核心方法：极限值与函数值分离比对法。
• 避坑指南：
• 必须厘清极限与函数值的区别。求 $x\to 1$ 的极限只能代入 $x\ne 1$ 的多项式，绝不能直接将 $f(1)=2$ 错当成极限值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查微积分初步中极限与连续性基础概念非常经典的常规选择题。 结论推广: 针对任何除去孤立点外均满足连续分布的函数， 其极限值大小完全由“除去该点后的周边解析式”独立决定，与该特定点自身的特殊设值毫无逻辑关联。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2007-湖南卷理-07 单-极限代数化简求法
• 2012-四川卷(理)-03 单-函数极限