2006-四川卷理-01 单-集合的交集运算

本题导读

本题考查集合的交集运算。关键在于准确解出一元二次不等式与绝对值不等式，并在数轴上求出两个解集的公共部分。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(理)） 已知集合 $A=\{x\mid x^2-5x+6\le 0\}$，集合 $B=\{x\mid |2x-1|>3\}$，则集合 $A\cap B=$()

A. $\{x\mid 2\le x\le 3\}$　　B. $\{x\mid 2\le x<3\}$　　C. $\{x\mid 2<x\le 3\}$　　D. $\{x\mid -1<x<3\}$

🔍【思路分析】

破题导航

解集合 $A$：将二次三项式因式分解，解一元二次不等式得到区间。 解集合 $B$：利用绝对值不等式的解法 $|x|>m⟺x>m$ 或 $x<-m$ 展开求解。 求交集：将两个区间在数轴上取重叠公共部分。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：首先求解集合 $A$ 的范围： 由 $x^2-5x+6\le 0$，因式分解得： $(x-2)(x-3)\le 0⟹2\le x\le 3$ 故 $A=\{x\mid 2\le x\le 3\}$。

接下来求解集合 $B$ 的范围： 由 $|2x-1|>3$，根据绝对值不等式性质展开为： $2x-1>3\text{或}2x-1<-3$ 解得： $x>2\text{或}x<-1$ 故 $B=\{x\mid x>2\text{ 或 }x<-1\}$。

求两集合的交集 $A\cap B$： 取 $2\le x\le 3$ 与 $x>2\text{ 或 }x<-1$ 的公共部分，可得： $2<x\le 3$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：一元二次不等式的因式分解、绝对值不等式的去绝对值符号、交集运算的区间开闭控制。
• 核心方法：数轴分析法。
• 避坑指南：
• 特别注意边界点 $x=2$ 的开闭状态。集合 $A$ 包含 2，但集合 $B$ 不包含 2，因此交集不包含 2，对应左开右闭区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查高考开篇集合与初等不等式解法交汇的常规基础选择题。 结论推广: 针对所有形如 $A\cap B$ 带有开闭区间的混合计算， 必须严格复核临界点是否同时属于两个集合。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅰ文-01 单-集合的交集运算
• 2007-辽宁卷理-01 单-集合交集运算
• 2007-福建文-01 单-集合补集交集