2006-四川文-13 填-二项式展开系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及指定项系数。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(文)） $(1-2x{)}^{10}$ 展开式中 $x^3$ 的系数为　　　　.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{r+1}=C_{10}^r(1{)}^{10-r}(-2x{)}^r=C_{10}^r(-2{)}^r{x}^r$。
2. 令 $r=3$，$x^3$ 的系数为 $C_{10}^3(-2{)}^3=120\times (-8)=-960$。

✅【答案】

Success

$-960$

✍【详细解析】

Abstract

$(1-2x{)}^{10}$ 的展开式通项为 $T_{r+1}=C_{10}^r(-2x{)}^r=C_{10}^r(-2{)}^r{x}^r.$ 令 $r=3$，得 $x^3$ 的系数为 $C_{10}^3(-2{)}^3=120\times (-8)=-960.$ （注意符号：$(-2{)}^3=-8$，故系数为负．）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开系数

核心方法：$(1-2x{)}^{10}$ 通项 $T_{r+1}=C_{10}^r(-2x{)}^r$，令 $r=3$，系数 $C_{10}^3(-2{)}^3=120\times (-8)=-960$

避坑指南：符号易错：$(-2{)}^3=-8$ 故系数为负 $-960$；用数字作答不写 $x$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 二项式定理通项公式

结论推广: $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$

方法推广: 指定项系数注意符号与组合数

🔗【关联脉络】

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