2006-四川文-12 单-数字组数被3整除

本题导读

本题考查古典概型，以及排列组合。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(文)） 从 $0$ 到 $9$ 这 $10$ 个数字中任取 $3$ 个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被 $3$ 整除的概率为()

A. $\frac{41}{60}$　　　　　B. $\frac{38}{54}$　　　　　C. $\frac{35}{54}$　　　　　D. $\frac{19}{54}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 三位数首位不能为 $0$，总个数 $9\times 9\times 8=648$。
2. 一个数能被 $3$ 整除 $⟺$ 各数字和能被 $3$ 整除。
3. 用补集：先求能被 $3$ 整除的个数，再用总个数减去得不能被整除的个数。
4. 经分类计数（按数字对 $3$ 的余数分组），不能被 $3$ 整除的三位数有 $420$ 个，概率 $\frac{420}{648}=\frac{35}{54}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

无重复数字的三位数：百位有 $9$ 种（非 $0$），十位、个位依次 $9$、$8$ 种，共 $9\times 9\times 8=648$ 个． 一个数能被 $3$ 整除当且仅当其各位数字之和能被 $3$ 整除．将 $0\sim 9$ 按模 $3$ 余数分类（余 $0$：$0,3,6,9$；余 $1$：$1,4,7$；余 $2$：$2,5,8$），经分类计数可得能被 $3$ 整除的三位数有 $228$ 个，故不能被 $3$ 整除的有 $648-228=420$ 个． 所求概率 $P=\frac{420}{648}=\frac{35}{54}$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数字组数被3整除

核心方法：三位数共 $9\times 9\times 8=648$ 个；能被 3 整除需数字和整除 3，用补集或直接计数得 $\frac{35}{54}$

避坑指南：首位不能为 0；“不能被 3 整除”用 $1-$ 能被 3 整除概率；注意三位数有重复数字约束

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 古典概型与数字排列

结论推广: $n$ 位无重复数字的三位数计数

方法推广: 被 3 整除看数字和，注意首位非 0

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2008-浙江文-19 解-摸球古典概型
• 2008-陕西文-18 解-不放回摸球概率
• 2009-四川卷文-18 解-熊猫卡古典概型
• 2008-福建文-05 单-独立重复试验