2006-四川文-07 单-二面角与异面直线角

本题导读

本题考查二面角，以及异面直线。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(文)） 已知二面角 $\alpha -l-\beta$ 的大小为 $60^{\circ }$，$m$、$n$ 为异面直线，且 $m\perp \alpha$，$n\perp \beta$，则 $m$、$n$ 所成的角为()

A. $30^{\circ }$　　　　　　B. $60^{\circ }$　　　　　　C. $90^{\circ }$　　　　　　D. $120^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 二面角 $\alpha -l-\beta$ 的平面角为 $60^{\circ }$。
2. 分别垂直两平面的直线 $m$、$n$，其方向与两平面的法线方向一致。
3. 两平面法线夹角等于二面角或其补角，此处为 $60^{\circ }$。
4. 异面直线所成角取锐角 $60^{\circ }$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设平面 $\alpha$、$\beta$ 的法线分别为 $m$、$n$ 的方向．二面角 $\alpha -l-\beta$ 的平面角等于两平面法线夹角（或其补角）． 已知二面角为 $60^{\circ }$，且 $m\perp \alpha$、$n\perp \beta$，故 $m$、$n$ 所成的角为 $60^{\circ }$（异面直线所成角取锐角），选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二面角与异面直线角

核心方法：二面角 $\alpha -l-\beta$ 为 $60^{\circ }$，$m\perp \alpha$、$n\perp \beta$，则 $m,n$ 所成角等于二面角的平面角 $60^{\circ }$

避坑指南：两条线分别垂直两平面时，其夹角等于二面角或其补角；此处取锐角 $60^{\circ }$ 而非 $120^{\circ }$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 二面角的平面角与两垂线夹角的关系

结论推广: 分别垂直两平面的直线夹角 $=$ 二面角或其补角

方法推广: 异面直线所成角取 $(0,90^{\circ }]$ 锐角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-19 解-四棱锥垂直与二面角
• 2010-四川卷文-18 解-正方体公垂线二面角
• 2010-天津文-19 解-异面直线角与二面角
• 2013-江苏卷-22 解-异面直线所成的角