本题导读
本题核心考查立体几何中球的基本性质。“球面距离”的实质是两点与球心构成的扇形的弧长；而球心到截面平面距离的求解，需要借助截面小圆外接圆半径与球半径构成直角三角形来完成。
📌【题干】
Question
（2006年北京卷(理)） 已知 三点在球心为 ，半径为 的球面上， ，且 ，那么 两点的球面距离为，球心到平面 的距离为.
🔍【思路分析】
破题导航
求解 两点的球面距离：
- 球面距离指的是过 两点的大圆所对应的劣弧长。
- 提取 ，因为 （球半径）且已知 ，所以 是等边三角形，从而得到球心角 。
- 利用弧长公式 计算球面距离。 求解球心到平面 的距离：
- 平面 截球体所得的截面是一个圆（记为小圆 ）， 三点均在此截面圆周上。
- 因为已知 ，说明 是直角三角形，其外接圆的直径即为斜边 。
- 从而小圆 的半径 。
- 构造 Rt，根据勾股定理有 ，求出垂线段距离。
✅【答案】
Success
；
✍【详细解析】
Abstract
解：
因为 两点在球面上，所以 。 又已知 ， 所以 的三条边长均为 ，是一个等边三角形。 由此可得， 两点对于球心 的张角（球心角）为： 根据球面距离的定义， 两点的球面距离即为大圆的劣弧长：
设平面 截球得到的截面圆圆心为 ，则 平面 ，垂线段 的长度即为球心到平面 的距离。 因为 三点都在截面圆 的圆周上，且已知 ， 所以 是以 为斜边的直角三角形。 根据圆周角定理（ 的圆周角所对的弦是直径），斜边 恰好为截面圆 的直径。 因为 ，所以截面圆的半径 为：
在直角三角形 中， ，斜边 ，直角边 。 根据勾股定理可得：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：球面距离与等边三角形球心角映射、球的截面小圆半径与斜边中线定理的交汇。
- 核心方法：直角三角形勾股数代数化方法。
- 避坑指南：一是在求球面距离时，部分学生容易直接连线求成空间线段距离 ，牢记球面距离必为大圆弧长；二是在利用 找小圆直径时，要准确映射到直径为 ，如果误认为 是 内部的其他点，将无法通过已知条件求解。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源: 本题源于人教A版必修第二册“立体几何初步”中关于球的表面积、体积以及球的截面几何性质的创新概念考查。 结论推广: 设球半径为 ，若球的任意截面多边形存在外接圆，则外接圆半径 、球心到该平面的距离 与球半径 恒满足几何质点方程： 。
🔗【关联脉络】
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