2006-北京卷理-11 填-三点共线定值

本题导读

本题核心考查平面解析几何中三点共线的代数性质。可通过构造过其中两点的直线方程并代入第三点，或者建立两两之间斜率相等的等式进行化简。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(理)） 若三点 $A(2,2)$, $B(a,0)$, $C(0,b)$ ($ab\ne 0$) 共线，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 的值等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

方法一：直线截距式方程法 识别特征：已知 $B(a,0)$ 和 $C(0,b)$，它们分别是直线在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距点。 写出方程：因为 $ab\ne 0$，由截距点直接构造直线 $BC$ 的截距式方程为 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$。 代入求值：因为三点共线，点 $A(2,2)$ 必然在该直线上，将其坐标代入方程即可直接提公因式解出答案。

方法二：斜率相等法 依据三点共线，可得直线 $AB$ 的斜率等于直线 $BC$ 的斜率，即 $k_{AB}=k_{BC}$。 代入坐标公式 $\frac{0-2}{a-2}=\frac{b-0}{0-a}$，通过交叉相乘展开去分母，进而变形出 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 的代数形式。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 因为 $B(a,0)$ 和 $C(0,b)$ 分别是直线与 $x$ 轴、 $y$ 轴的交点，且 $ab\ne 0$， 根据直线的截距式方程可知，通过 $B,C$ 两点的直线方程为： $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

又因为三点 $A(2,2)$, $B(a,0)$, $C(0,b)$ 共线， 所以点 $A(2,2)$ 必然在直线 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 上。

将点 $A$ 的坐标 $x=2,y=2$ 代入该直线方程得： $\frac{2}{a}+\frac{2}{b}=1$

提公因式 2 可得： $2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1$

两边同时除以 2，解得： $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：直线截距式方程 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 的定义、点在直线上坐标满足方程的性质。
• 核心方法：截距式方程映射法。
• 避坑指南：如果使用斜率法 $k_{AB}=k_{BC}$ 进行交叉相乘，在去分母时要格外细心（得 $2a+2b=ab$，两边同除以 $ab$ 得到 $\frac{2}{b}+\frac{2}{a}=1$），计算过程比截距式法略繁琐，极易在变号或移项时发生漏项、错项等低级失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第一册“直线与圆的方程”章节中关于直线方程五种形式的经典基础应用。 结论推广: 平面直角坐标系中，若定点 $A(x_0,y_0)$ 与两个截距动点 $B(a,0)$, $C(0,b)$ 共线，则必然有恒等式 $\frac{x_0}{a}+\frac{y_0}{b}=1$ 成立。本题即为 $x_0=2,y_0=2$ 时的特例表现。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2007-上海卷理-02 填-直线一般式方程
• 2008-江苏卷-09 填-直线方程补全