2006-北京卷理-06 单-利普希茨连续性

本题导读

本题核心考查函数在特定闭区间内的“变化率界限”判定。将给定的抽象不等式进行等价变形，可转化为两点割线斜率绝对值的范围问题，进而借助导数的几何意义或导数有界性进行快速判定。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(理)） 在下列四个函数中，满足性质：“对于区间 $(1,2)$ 上的任意 $x_1,x_2$ ($x_1\ne x_2$)， $|f(x_1)-f(x_2)|<|x_2-x_1|$ 恒成立”的只有 ()

A. $f(x)=\frac{1}{x}$　　B. $f(x)=|x|$　　C. $f(x)=2^x$　　D. $f(x)=x^2$

🔍【思路分析】

破题导航

等价化简不等式：因为 $x_1\ne x_2⟹|x_2-x_1|>0$，将已知不等式两边同除以 $|x_2-x_1|$，得到： $\left|\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\right|<1$ 理解几何实质与微积分关系：

• 几何意义：函数图象上任意两点连线的斜率绝对值严格小于 1。
• 导数意义：由拉格朗日中值定理知，如果该不等式恒成立，则要求函数在区间 $(1,2)$ 上的导数绝对值满足 $|f^{\prime }(x)|\le 1$ 且不恒等于 1。 逐项求导检验：分别求出四个选项函数在区间 $(1,2)$ 上的导数，判断其绝对值是否能被 1 控制住。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解： 将目标不等式两边同除以 $|x_2-x_1|$，原条件等价于： $\left|\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\right|<1(\text{对任意 }{x}_1,x_2\in (1,2)\text{ 恒成立})$

由拉格朗日中值定理知，上式成立的必要条件（在连续可导前提下）是函数在区间 $(1,2)$ 上的导数绝对值 $|f^{\prime }(x)|\le 1$ 且不能在该区间某些点超过 1。 我们对四个选项进行逐一求导并分析在区间 $(1,2)$ 上的范围：

• 对于选项 A： $f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$，其导数为 $f^{\prime }(x)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$。 当 $x\in (1,2)$ 时， $x^2\in (1,4)⟹\frac{1}{x^2}\in \left(\frac{1}{4},1\right)$。 所以 $|f^{\prime }(x)|=\left|-\frac{1}{x^2}\right|=\frac{1}{x^2}<1$ 恒成立。 由于导数绝对值在区间内严格小于 1，根据中值定理，任意两点间的割线斜率绝对值也必然严格小于 1，故性质成立。

• 对于选项 B：当 $x\in (1,2)$ 时， $x>0⟹f(x)=x$。 此时 $f^{\prime }(x)=1$，所以其任意两点间割线斜率绝对值恒等于 1： $\left|\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\right|=1$。不满足严格小于号。

• 对于选项 C： $f(x)=2^x$，其导数为 $f^{\prime }(x)=2^x\ln 2$。 当 $x\in (1,2)$ 时， $2^x>2^1=2$。且 $\ln 2\approx 0.693$。 此时 $f^{\prime }(x)>2\ln 2=\ln 4>1$，导数绝对值大于 1，不满足条件。

• 对于选项 D： $f(x)=x^2$，其导数为 $f^{\prime }(x)=2x$。 当 $x\in (1,2)$ 时， $f^{\prime }(x)=2x\in (2,4)$。 此时 $|f^{\prime }(x)|>2>1$，导数绝对值大于 1，不满足条件。

综上所述，只有选项 A 满足条件。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：割线斜率与切线斜率（导数）的映射转化、拉格朗日中值定理的应用背景。
• 核心方法：导数区间限界判定法。
• 避坑指南：一是对 B 选项容易因为粗心误选，必须看清题目是不等号“$<$”而不是“$\le$”；二是如果直接代入 $x_1,x_2$ 用代数法去证，计算量会非常庞大，极易因繁琐而出错。看到 $|f(x_1)-f(x_2)|$ 与 $|x_1-x_2|$ 组合，第一时间必须转化为斜率模型。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题的代数结构源于高等数学中的利普希茨条件 (Lipschitz Condition)。如果对于函数定义域内的任意两点，都有 $|f(x_1)-f(x_2)|\le L|x_1-x_2|$，则称函数在该区间上满足利普希茨条件。当 $L<1$ 时，该映射在度量空间中称为压缩映射。本题即为 $L=1$ 时的严格压缩判定。 结论推广: 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上可导，若对任意 $x\in (a,b)$ 恒有 $|f^{\prime }(x)|<k$，则对于区间内的任意两点必有 $|f(x_1)-f(x_2)|<k|x_1-x_2|$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2007-湖南卷理-21 解-割线斜率单调性性质
• 2014-大纲卷理-07 单-切线的斜率