2006-北京卷理-05 单-一次函数的单调性

本题导读

本题核心考查分段函数在整个实数集上为减函数的充要条件。解题关键在于不仅要保证每一段函数各自单调递减，还必须确保分界点处的函数值满足左侧极限值大于或等于右侧函数值。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(理)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{l}(3a-1)x+4a,x<1\\ {\log }_{a}x,x\ge 1\end{array}$ 是 $(-\infty ,+\infty )$ 上的减函数，那么 $a$ 的取值范围是 ()

A. $(0,1)$　　　B. $\left(0,\frac{1}{3}\right)$　　　C. $\left[\frac{1}{7},\frac{1}{3}\right)$　　　D. $\left[\frac{1}{7},1\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

分析第一段（一次函数）：当 $x<1$ 时， $f(x)=(3a-1)x+4a$ 是单调递减的一次函数，必须满足斜率严格小于 0，即 $3a-1<0$。 分析第二段（对数函数）：当 $x\ge 1$ 时， $f(x)={\log }_{a}x$ 是单调递减的对数函数，必须满足底数范围为 $0<a<1$。 分析分界点 $x=1$ 处的衔接条件：为保证在整个定义域内单调递减，一次函数在 $x\to 1$ 时的左极限必须大于或等于对数函数在 $x=1$ 处的函数值，即 $(3a-1)\times 1+4a\ge {\log }_{a}1$。 联立不等式组求解：求出上述三个条件的公共交集。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据分段函数在整个实数集 $\mathbf{R}$ 上单调递减的定义，必须同时满足以下三个条件：

1. 当 $x<1$ 时，一次函数 $f(x)=(3a-1)x+4a$ 严格单调递减，因此其斜率必须为负： $3a-1<0⟹a<\frac{1}{3}$

2. 当 $x\ge 1$ 时，对数函数 $f(x)={\log }_{a}x$ 严格单调递减，因此底数必须满足： $0<a<1$

3. 在分界点 $x=1$ 处，左侧部分的最大下界必须不小于右侧部分的起点值，以防在分界点处出现“向上跳跃”导致单调性破坏。 即当 $x\to 1$ 时，第一段的值必大于或等于第二段在 $x=1$ 处的值： $(3a-1)\cdot 1+4a\ge {\log }_{a}1$ $3a-1+4a\ge 0⟹7a\ge 1⟹a\ge \frac{1}{7}$

联立以上三个不等式构成约束条件组： $\{\begin{array}{l}a<\frac{1}{3}\\ 0<a<1\\ a\ge \frac{1}{7}\end{array}⟹\frac{1}{7}\le a<\frac{1}{3}$

所以，参数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{1}{7},\frac{1}{3}\right)$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：一次函数与对数函数的单调性控制、分段函数断点衔接不等式。
• 核心方法：断点上下界限分析法。
• 避坑指南：本题最核心的易错点在条件3。极多学生仅考虑了每段函数各自的单调性，得出 $0<a<\frac{1}{3}$ 从而误选 B。务必牢记分段函数全局单调时，分界点处的左侧限界与右侧函数值必须满足“左高右低（减函数）”或“左低右高（增函数）”的衔接关系，此处必须有 $(3a-1)\cdot 1+4a\ge {\log }_{a}1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版必修第一册“函数的概念与性质”中分段函数单调性综合应用的经典高考题型。 结论推广: 设分段函数 $f(x)=\{\begin{array}{l}g(x),x<x_0\\ h(x),x\ge x_0\end{array}$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减，则必满足： $g(x)$ 在 $(-\infty ,x_0)$ 单调递减， $h(x)$ 在 $[x_0,+\infty )$ 单调递减，且 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}g(x)\ge h(x_0)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-广东文-03 单-奇偶性与单调性判定
• 2007-辽宁文-09 单-对数复合函数单调区间