本题导读
本题核心考查空间线面垂直的性质以及两平面交线的几何实质。关键是将动直线 的集合转化为一个具体的空间几何平面。
📌【题干】
Question
（2006年北京卷(理)） 平面 的斜线 交 于点 ，过定点 的动直线 与 垂直，且交 于点 ，则动点 的轨迹是 ()
A. 一条直线 B. 一个圆 C. 一个椭圆 D. 双曲线的一支
🔍【思路分析】
破题导航
分析动直线 构成的集合：过定点 且与定直线 垂直的所有直线 都在同一个平面内（记该平面为 ），且该平面 满足 。 分析动点 的几何特征：点 是动直线 与平面 的交点，同时直线 落在平面 内，故点 必然既在平面 内，又在平面 内。 判定两平面位置关系：因为 是平面 的斜线，所以平面 与平面 不重合也不平行，两者必然相交，动点 的轨迹即为这两个平面的交线。
✅【答案】
Success
A
✍【详细解析】
Abstract
解： 根据空间几何性质，过定点 且与已知直线 垂直的直线有无数条，这无数条动直线 的集合共同构成一个过点 且以 为法向量的平面，记为平面 。 即：所有动直线 均在平面 内，且 。
因为动直线 交平面 于点 ， 所以点 属于直线 。由于 ，故点 必在平面 内（即 ）。 同时，题目明确指出直线 交 于点 ，故点 显然也在平面 内（即 ）。
因此，动点 是平面 与平面 的公共点。
因为 是平面 的斜线（不垂直于 ），而 ， 根据空间两平面位置关系，平面 与平面 一定不重合、不平行，它们必然相交于一条直线。
所以，动点 的轨迹就是平面 与平面 的交线，即为一条直线。
故选 A
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：线面垂直的定义（垂直于已知直线的直线的集合是一个平面）、两平面相交的交线定理。
- 核心方法：空间几何图形降维转换法（将线的轨迹问题转化为面的交线问题）。
- 避坑指南：极易受圆锥曲线（如用一平面截圆锥面得到椭圆、双曲线等）或球体截面的思维定势影响，误认为存在“垂直”或“斜线”就会在平面上投影出一个圆或椭圆，从而错选 B 或 C。务必通过“线在面内”的严格逻辑进行推导。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源: 本题源于人教A版必修第二册“立体几何初步”中关于线面垂直基本概念辨析与运用的拓展题。 结论推广: 空间中，满足到定点距离为定值的点的轨迹是球面；而在空间中满足与定直线垂直且过定点的直线的轨迹是一个平面。本题就是利用此结论，求该轨迹平面与另一已知平面的交线。
🔗【关联脉络】
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