2006-北京卷理-02 单-充分必要条件的判定

本题导读

本题核心考查平面向量数量积的运算律、向量垂直的充要条件以及常用逻辑用语中的充要条件判定。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(理)） 若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}-\vec{c}$ 都是非零向量，则 “$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}$” 是 “$\vec{a}\perp (\vec{b}-\vec{c})$” 的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

分析条件：将条件 “$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}$” 移项，利用向量数量积的分配律变形为 $\vec{a}\cdot (\vec{b}-\vec{c})=0$。 分析结论：根据非零向量垂直的充要条件， “$\vec{a}\perp (\vec{b}-\vec{c})$” 等价于 $\vec{a}\cdot (\vec{b}-\vec{c})=0$。 判定逻辑关系：对比两者的等价代数式，确定充分必要条件。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解： 对条件 “$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}$” 进行移项变形： $\vec{a}\cdot \vec{b}-\vec{a}\cdot \vec{c}=0$

根据平面向量数量积的分配律，上式可化为： $\vec{a}\cdot (\vec{b}-\vec{c})=0$

因为已知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}-\vec{c}$ 都是非零向量， 根据非零向量垂直的充要条件知： $\vec{a}\cdot (\vec{b}-\vec{c})=0⟺\vec{a}\perp (\vec{b}-\vec{c})$

这说明条件 “$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}$” 与结论 “$\vec{a}\perp (\vec{b}-\vec{c})$” 可以双向互推，互为充要条件。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：向量数量积因式分解、非零向量数量积为0与垂直的等价性。
• 核心方法：等价向量因式分解法。
• 避坑指南：必须注意题目中 “$\vec{a}$ 与 $\vec{b}-\vec{c}$ 都是非零向量” 的前置限制。若向量可能为零向量，则数量积为 0 不能推导出垂直，从而会变成充分不必要条件。本题由于声明了是非零向量，因此是严格的充分必要条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版必修第二册“平面向量”章节中关于数量积性质与常用逻辑用语相结合的基础巩固题。 结论推广: 对于任意非零向量 $\vec{x},\vec{y}$， $\vec{x}\cdot \vec{y}=0⟺\vec{x}\perp \vec{y}$ 恒成立。将 $\vec{x}$ 替换为 $\vec{a}$， $\vec{y}$ 替换为 $\vec{b}-\vec{c}$ 即得本题模型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅰ文-09 单-充分必要条件的判定
• 2013-浙江卷理-04 单-充分必要条件判定