2006-北京卷理-01 单-复数的几何意义

本题导读

本题核心考查复数的除法运算以及复数的几何意义，需要将分式复数表达式化简为标准代数形式 $a+bi$，进而判定其在复平面内对应点的象限。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(理)） 在复平面内，复数 $\frac{1+\text{i}}{\text{i}}$ 对应的点位于 ()

A. 第一象限　　　B. 第二象限　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限

🔍【思路分析】

破题导航

利用分母实数化或拆分法，将复数 $\frac{1+\text{i}}{\text{i}}$ 整理为标准形式 $a+bi$。 根据虚数单位的性质 $\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}$，可直接化简。 由实部 $a$ 和虚部 $b$ 的正负号确定该复数在复平面内对应点的象限。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解： 对复数 $\frac{1+\text{i}}{\text{i}}$ 进行拆分化简： $\frac{1+\text{i}}{\text{i}}=\frac{1}{\text{i}}+\frac{\text{i}}{\text{i}}$

根据虚数单位性质， $\frac{1}{\text{i}}=\frac{-\text{i}}{-{\text{i}}^2}=-\text{i}$，且 $\frac{\text{i}}{\text{i}}=1$。 代入得： $\frac{1+\text{i}}{\text{i}}=-\text{i}+1=1-\text{i}$

分析复数的实部与虚部：

• 实部 $a=1>0$
• 虚部 $b=-1<0$

根据复数的几何意义，该复数在复平面内对应的点坐标为 $(1,-1)$。 由于横坐标为正，纵坐标为负，故该点位于第四象限。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：虚数单位的倒数性质（$\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}$）、复平面坐标映射。
• 核心方法：代数形式化简。
• 避坑指南：在将标准形式 $1-\text{i}$ 转换到复平面点坐标时，极易因看错负号而误把虚部写为 $1$，从而错选第一象限。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版必修第二册“复数”章节中关于复数基本运算与几何意义的课后基础题。 结论推广: 复数 $z=a+bi$ 在复平面上的象限规律与平面直角坐标系完全一致，即实部和虚部的正负直接对应 $(x,y)$ 坐标的象限符号特征。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2007-陕西卷理-01 单-复数几何意义
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义