2006-北京文-20 解-等差数列整数约束

本题导读

本题考查等差数列的通项。核心在于基本量列方程。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(文)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1$ 及公差 $d$ 都为整数，前 $n$ 项和为 $S_n$． （1）若 $a_{11}=0$，$S_{14}=98$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； （2）若 $a_1⩾6$，$a_{11}>0$，$S_{14}⩽77$，求所有可能的数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 由 $a_{11}=a_1+10d=0$ 与 $S_{14}=14a_1+91d=98$（即 $2a_1+13d=14$）联立解 $a_1,d$。
2. (2) 三条件化为：$2a_1+13d⩽11$（S14 约束）、$a_1+10d>0$、$a_1⩾6$。
3. 消去 $a_1$ 夹逼 $d$：$-7d<11$ 且 $13d⩽-1$，整数解 $d=-1$。
4. 回代得 $10<a_1⩽12$，$a_1=11$ 或 $12$。

✅【答案】

Success

(1)$a_n=22-2n$（$n=1,2,3,\cdots$）

(2)$a_n=12-n$ 或 $a_n=13-n$（$n=1,2,3,\cdots$）

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $a_{11}=a_1+10d=0$，$S_{14}=14a_1+\frac{14\times 13}{2}d=14a_1+91d=98$，即 $2a_1+13d=14$． 两式联立：$a_1=-10d$，代入得 $-20d+13d=14$，$d=-2$，$a_1=20$． 故 $a_n=20+(n-1)\times (-2)=22-2n$（$n=1,2,3,\cdots$）． （2）三条件化为不等式组： 由 $S_{14}⩽77$ 得 $2a_1+13d⩽11$　①； 由 $a_{11}>0$ 得 $a_1+10d>0$　②； 又 $a_1⩾6$　③． ②$-$③$\times (-1)$ 方向调整后：由①得 $a_1⩽\frac{11-13d}{2}$，结合 $a_1⩾6$ 得 $\frac{11-13d}{2}⩾6$，即 $13d⩽-1$，$d⩽-\frac{1}{13}$； 由②得 $a_1>-10d$，结合①：$-10d<a_1⩽\frac{11-13d}{2}$，故 $-10d<\frac{11-13d}{2}$，即 $-20d<11-13d$，$-7d<11$，$d>-\frac{11}{7}$． 于是 $-\frac{11}{7}<d⩽-\frac{1}{13}$，又 $d$ 为整数，故 $d=-1$． 将 $d=-1$ 代入②③得 $10<a_1⩽12$，又 $a_1$ 为整数，故 $a_1=11$ 或 $a_1=12$． 所以所有可能的通项公式为 $a_n=12-n$ 或 $a_n=13-n$（$n=1,2,3,\cdots$）． 【注】原卷及答案册该小问印作"$S_{14}⩾77$"，系排印错误：若 $S_{14}⩾77$，则满足条件的整数数列有无穷多个（如一切 $d⩾0$ 的情形），与”求所有可能的数列”矛盾；历年试题汇编及青夏教育、豆丁、百度文库等详解均作"$S_{14}⩽77$"，据此三条件夹逼恰得有限解，故按 $⩽77$ 录入．另答案册该题只给出（1）的答案，（2）的结论 $a_n=12-n$ 或 $a_n=13-n$ 由详解多源核对补全．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列整数约束

核心方法：基本量列方程，不等式夹逼整数解

避坑指南：(1) 由 $a_{11}=0$ 与 $S_{14}=98$ 列二元一次方程组；(2) 三条不等式联立夹逼出 $d=-1$、$a_1=11$ 或 $12$；整数约束是缩小范围的关键

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 等差数列基本量与不等式整数解，数列综合压轴

结论推广: 基本量 $a_1,d$ 列方程（组）或不等式组，整数约束把连续范围离散化

方法推广: 含整数约束的数列问题：先解不等式得连续范围，再取整数解

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-17 解-等差数列整除分析
• 2008-北京文-07 单-等差数列偶数项子列
• 2010-新课标Ⅰ文-17 解-等差数列前n项和最值