2006-北京文-19 解-椭圆方程与中点弦

本题导读

本题考查椭圆的标准方程。核心在于焦点三角形定 a。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(文)） 椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的两个焦点为 $F_1,F_2$，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，且 $P{F}_1\perp F_1{F}_2$，$|P{F}_1|=\frac{4}{3}$，$|P{F}_2|=\frac{14}{3}$． （1）求椭圆 $C$ 的方程； （2）若直线 $l$ 过圆 $x^2+y^2+4x-2y=0$ 的圆心 $M$，交椭圆 $C$ 于 $A,B$ 两点，且 $A,B$ 关于点 $M$ 对称，求直线 $l$ 的方程．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 椭圆定义：$|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a=6$，$a=3$。
2. 直角三角形 $P{F}_1{F}_2$ 中 $|F_1{F}_2{|}^2=|P{F}_2{|}^2-|P{F}_1{|}^2$，得 $c^2=5$，$b^2=4$。
3. 圆化标准式得圆心 $M(-2,1)$；$A,B$ 关于 $M$ 对称即 $M$ 是弦 $AB$ 中点。
4. 点差法：设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 代入椭圆方程相减，中点与斜率关系求 $k$。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$

(2)$8x-9y+25=0$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由椭圆定义 $2a=|P{F}_1|+|P{F}_2|=\frac{4}{3}+\frac{14}{3}=6$，故 $a=3$． $P{F}_1\perp F_1{F}_2$，在直角三角形 $P{F}_1{F}_2$ 中 $|F_1{F}_2{|}^2=|P{F}_2{|}^2-|P{F}_1{|}^2=\frac{196}{9}-\frac{16}{9}=20$，故 $c^2=5$，$b^2=a^2-c^2=4$． 所以椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$． （2）圆 $x^2+y^2+4x-2y=0$ 化为 $(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=5$，圆心 $M(-2,1)$． 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，由 $A,B$ 关于 $M$ 对称知 $M$ 为弦 $AB$ 中点，故 $x_1+x_2=-4$，$y_1+y_2=2$（设 $x_1\ne x_2$）． $A,B$ 代入椭圆方程：$4x_1^2+9y_1^2=36$，$4x_2^2+9y_2^2=36$，两式相减 $4(x_1+x_2)(x_1-x_2)+9(y_1+y_2)(y_1-y_2)=0$， 即 $4\times (-4)(x_1-x_2)+9\times 2(y_1-y_2)=0$， 得直线 $l$ 的斜率 $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{16}{18}=\frac{8}{9}$． 故直线 $l$：$y-1=\frac{8}{9}(x+2)$，即 $8x-9y+25=0$． 经检验，直线 $l$ 与椭圆相交于两点，所求方程符合题意．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆方程与中点弦

核心方法：焦点三角形定 a，点差法设而不求

避坑指南：直角三角形 $P{F}_1{F}_2$ 中 $|P{F}_1|=\frac{4}{3},|P{F}_2|=\frac{14}{3}$，$2a=\frac{18}{3}=6$；中点弦用点差法求斜率 $\frac{8}{9}$，得 $8x-9y+25=0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 椭圆定义与中点弦，解析几何综合题

结论推广: 焦点三角形（直角）用定义求 $2a$；中点弦用点差法：两方程相减出现中点与斜率关系

方法推广: 点差法核心：“设而不求”，中点坐标与弦斜率的代数关系一步得到

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-湖南卷文-20 解-椭圆中点弦
• 2010-上海卷文-23 解-椭圆向量与中点弦
• 2010-大纲Ⅱ文-22 解-双曲线中点弦与切圆