2006-北京文-15 解-三角函数定义域与求值

本题导读

本题考查三角函数的定义域。核心在于分母非零定定义域。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{1-\sin 2x}{\cos x}$． （1）求 $f(x)$ 的定义域； （2）设 $\alpha$ 是第四象限的角，且 $\tan \alpha =-\frac{4}{3}$，求 $f(\alpha )$ 的值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 定义域由分母 $\cos x\ne 0$ 确定。
2. 由 $\tan \alpha =-\frac{4}{3}$ 与第四象限定 $\sin \alpha =-\frac{4}{5}$，$\cos \alpha =\frac{3}{5}$。
3. $f(\alpha )=\frac{1-\sin 2\alpha }{\cos \alpha }=\frac{1-2\sin \alpha \cos \alpha }{\cos \alpha }$，代入求值。

✅【答案】

Success

(1)$\{x\mid x\ne k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbf{Z}\}$

(2)$f(\alpha )=\frac{49}{15}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由分母 $\cos x\ne 0$，得 $x\ne k\pi +\frac{\pi }{2}$（$k\in \mathbf{Z}$）， 故定义域为 $\left\{x\mid x\ne k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbf{Z}\right\}$． （2）$\alpha$ 是第四象限的角，$\tan \alpha =-\frac{4}{3}<0$， 由 ${\sec }^2\alpha =1+{\tan }^2\alpha =\frac{25}{9}$ 得 $\cos \alpha =\frac{3}{5}$（第四象限余弦为正）， $\sin \alpha =\tan \alpha \cdot \cos \alpha =-\frac{4}{3}\times \frac{3}{5}=-\frac{4}{5}$． 故 $f(\alpha )=\frac{1-\sin 2\alpha }{\cos \alpha }=\frac{1-2\sin \alpha \cos \alpha }{\cos \alpha }=\frac{1-2\times \left(-\frac{4}{5}\right)\times \frac{3}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{1+\frac{24}{25}}{\frac{3}{5}}=\frac{\frac{49}{25}}{\frac{3}{5}}=\frac{49}{15}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数定义域与求值

核心方法：分母非零定定义域，弦切化弦求值

避坑指南：定义域由 $\cos x\ne 0$ 定；第四象限由 $\tan \alpha =-\frac{4}{3}$ 定 $\sin \alpha ,\cos \alpha$ 的符号后代入

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 三角函数定义域与化简求值，综合基础题

结论推广: 分母含 $\cos x$ 时定义域排除余弦零点；已知三角比求其他用象限定符号

方法推广: 求值题三步：化切为弦、象限定号、代入公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-01 单-函数定义域
• 2008-江西文-03 单-函数定义域与分母非零
• 2009-江西卷文-02 单-函数定义域