2006-北京文-14 填-线性规划距离最值

本题导读

本题考查线性规划，以及两点间距离公式。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(文)） 已知点 $P(x,y)$ 的坐标满足条件 $\{\begin{array}{l}x+y⩽4,\\ y⩾x,\\ x⩾1,\end{array}$ 点 $O$ 为坐标原点，那么 $|PO|$ 的最小值等于____，最大值等于____．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画可行域：三直线 $x+y=4$、$y=x$、$x=1$ 围成三角形。
2. 求顶点：$y=x$ 与 $x=1$ 交 $(1,1)$；$y=x$ 与 $x+y=4$ 交 $(2,2)$；$x=1$ 与 $x+y=4$ 交 $(1,3)$。
3. $|PO|$ 的最值在顶点处取得：$|PO{|}^2=x^2+y^2$。
4. $|P{O}_{(1,1)}|=\sqrt{2}$，$|P{O}_{(2,2)}|=2\sqrt{2}$，$|P{O}_{(1,3)}|=\sqrt{10}$。

✅【答案】

Success

$\sqrt{2}$；$\sqrt{10}$

✍【详细解析】

Abstract

可行域由直线 $x+y=4$、$y=x$、$x=1$ 围成，求三直线两两交点： $y=x$ 与 $x=1$ 交于 $(1,1)$；$y=x$ 与 $x+y=4$ 交于 $(2,2)$；$x=1$ 与 $x+y=4$ 交于 $(1,3)$． 可行域是以 $(1,1),(2,2),(1,3)$ 为顶点的三角形（含边界）． $|PO{|}^2=x^2+y^2$ 表示点 $P$ 到原点距离的平方，在顶点处取得最值： $|(1,1){|}^2=2$，$|(2,2){|}^2=8$，$|(1,3){|}^2=10$． 故 $|PO|$ 的最小值为 $\sqrt{2}$，最大值为 $\sqrt{10}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划距离最值

核心方法：可行域画顶点，距离转化为顶点值比较

避坑指南：可行域顶点 $(1,1),(1,3),(2,2)$，$|PO|$ 最小 $\sqrt{2}$、最大 $\sqrt{10}$；$|PO|$ 不是线性目标，需逐顶点算距离

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 线性规划与距离最值结合，区域综合题

结论推广: 可行域顶点法：$|PO|$ 最值在顶点处取得，逐顶点算距离比较

方法推广: $|PO|$ 类非线性目标函数转化为几何距离，在顶点与边界上取最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-06 单-线性规划最小值
• 2008-新课标Ⅰ文-10 单-线性规划距离范围
• 2008-大纲Ⅰ文-13 填-线性规划最值