2006-北京文-08 单-环岛流量图象建模

本题导读

本题考查函数的应用，以及方程思想。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(文)） 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 $A,B,C$ 的机动车辆数如图所示．图中 $x_1,x_2,x_3$ 分别表示该时段单位时间通过路段 $\widehat{AB},\widehat{BC},\widehat{CA}$ 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则 $x_1,x_2,x_3$ 的大小关系是()

A. $x_1>x_2>x_3$　　　B. $x_1>x_3>x_2$　　　C. $x_2>x_3>x_1$　　　D. $x_3>x_2>x_1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 路口 $A$：外部进 $50$ 出 $55$，环上进 $x_3$ 出 $x_1$：$50+x_3=55+x_1$，即 $x_3-x_1=5$。
2. 路口 $B$：外部进 $30$ 出 $20$，环上进 $x_1$ 出 $x_2$：$30+x_1=20+x_2$，即 $x_2-x_1=10$。
3. 路口 $C$：外部进 $30$ 出 $35$，环上进 $x_2$ 出 $x_3$：$30+x_2=35+x_3$，即 $x_2-x_3=5$。
4. 三式得 $x_2-x_1=10>0$，$x_3-x_1=5>0$，$x_2-x_3=5>0$，故 $x_2>x_3>x_1$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由”同一路段上驶入与驶出的车辆数相等”，对三个路口分别列守恒方程： 路口 $A$：外部进入 $50$、流出 $55$，环路上由 $\widehat{CA}$ 进入 $x_3$、向 $\widehat{AB}$ 流出 $x_1$，故 $50+x_3=55+x_1$，即 $x_3-x_1=5$； 路口 $B$：外部进入 $30$、流出 $20$，环上进 $x_1$ 出 $x_2$，故 $30+x_1=20+x_2$，即 $x_2-x_1=10$； 路口 $C$：外部进入 $30$、流出 $35$，环上进 $x_2$ 出 $x_3$，故 $30+x_2=35+x_3$，即 $x_2-x_3=5$． 由 $x_2-x_1=10>0$，$x_3-x_1=5>0$，$x_2-x_3=5>0$，得 $x_2>x_3>x_1$． 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：环岛流量图象建模

核心方法：流量守恒列方程，比较大小

避坑指南：每个路口进出守恒：$A$ 口 $x_3-x_1=5$、$B$ 口 $x_2-x_1=10$、$C$ 口 $x_2-x_3=5$，直接比较得 $x_2>x_3>x_1$；读懂”驶入等于驶出”是关键，差值法不必求绝对值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 实际问题的函数图象建模，应用创新题

结论推广: 流量守恒（进出相等）列线性方程组，解出 $x_1,x_2,x_3$ 后比较大小

方法推广: 环形网络流量问题：每个节点守恒列方程，是线性方程组的实际背景

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-02 单-行程图象识别
• 2009-山东卷文-06 单-函数图象识别
• 2010-湖南卷文-08 单-函数图象识别