2006-全国卷II理-21 解-抛物线切线交点与面积最值

本题导读

本题考查抛物线切线的交点问题。核心在于用抛物线上两动点参数表示切线交点，并借助向量数量积与导数求最值。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(理)） 已知抛物线 $x^2=4y$ 的焦点为 $F$，$A$、$B$ 是抛物线上的两动点，且 $\overrightarrow{AF}=\lambda \overrightarrow{FB}$（$\lambda >0$）。过 $A$、$B$ 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 $M$。

(1) 证明 $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{AB}$ 为定值；

(2) 设 $△ABM$ 的面积为 $S$，写出 $S=f(\lambda )$ 的表达式，并求 $S$ 的最小值.

🔍【思路分析】

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1. 设 $A(x_1,\frac{x_1^2}{4})$，$B(x_2,\frac{x_2^2}{4})$，由 $\overrightarrow{AF}=\lambda \overrightarrow{FB}$ 得 $x_1=-\lambda x_2$，并结合纵坐标关系解出 $x_2^2$。
2. 求抛物线 $y=\frac{x^2}{4}$ 在 $A$、$B$ 处的切线方程，联立解出交点 $M$ 的坐标。
3. 代入 $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{AB}$ 验证为定值；用 $\overrightarrow{FM}\perp \overrightarrow{AB}$ 把面积表成 $\frac{1}{2}|AB|\cdot |FM|$，再对 $\lambda$ 求最值。

✅【答案】

Success

(1) $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{AB}=0$

(2) $S=f(\lambda )=\frac{1}{2}{\left(\sqrt{\lambda }+\frac{1}{\sqrt{\lambda }}\right)}^3$，最小值为 $4$.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 抛物线 $x^2=4y$ 即 $y=\frac{x^2}{4}$，焦点 $F(0,1)$，准线 $y=-1$。 设 $A\left(x_1,\frac{x_1^2}{4}\right)$，$B\left(x_2,\frac{x_2^2}{4}\right)$。 由 $\overrightarrow{AF}=\lambda \overrightarrow{FB}$，即 $\left(-x_1,1-\frac{x_1^2}{4}\right)=\lambda \left(x_2,\frac{x_2^2}{4}-1\right)$，得 $x_1=-\lambda x_2,1-\frac{x_1^2}{4}=\lambda \left(\frac{x_2^2}{4}-1\right).$ 将 $x_1=-\lambda x_2$ 代入纵坐标关系： $1-\frac{{\lambda }^2{x}_2^2}{4}=\frac{\lambda x_2^2}{4}-\lambda ⟹1+\lambda =\frac{\lambda (\lambda +1)x_2^2}{4}⟹x_2^2=\frac{4}{\lambda }.$ 由 $y=\frac{x^2}{4}$ 得 $y^{\prime }=\frac{x}{2}$，故 $A$、$B$ 处的切线分别为 $y-\frac{x_1^2}{4}=\frac{x_1}{2}(x-x_1),y-\frac{x_2^2}{4}=\frac{x_2}{2}(x-x_2),$ 即 $y=\frac{x_1}{2}x-\frac{x_1^2}{4}$ 与 $y=\frac{x_2}{2}x-\frac{x_2^2}{4}$。 联立解得交点 $M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{x_1{x}_2}{4}\right)=\left(\frac{(1-\lambda )x_2}{2},-\frac{\lambda x_2^2}{4}\right).$ 代入 $x_2^2=\frac{4}{\lambda }$，得 $y_M=-\frac{\lambda x_2^2}{4}=-1$，故 $M$ 在准线 $y=-1$ 上。 于是 $\overrightarrow{FM}=\left(\frac{x_1+x_2}{2},-2\right),\overrightarrow{AB}=\left(x_2-x_1,\frac{x_2^2-x_1^2}{4}\right).$ 其中 $x_1+x_2=(1-\lambda )x_2$，$x_2-x_1=(1+\lambda )x_2$，$\frac{x_2^2-x_1^2}{4}=\frac{(1-{\lambda }^2)x_2^2}{4}=\frac{1-{\lambda }^2}{\lambda }$。 所以

=\frac{(1-\lambda^2)x_2^2}{2}-\frac{2(1-\lambda^2)}{\lambda}.$$ 代入 $x_2^2=\frac{4}{\lambda}$： $$\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{AB}=\frac{(1-\lambda^2)}{2}\cdot\frac{4}{\lambda}-\frac{2(1-\lambda^2)}{\lambda}=0.$$ 故 $\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ 为定值（即 $\overrightarrow{FM}\perp\overrightarrow{AB}$）。 (2) 由 (1) 知 $\overrightarrow{FM}\perp\overrightarrow{AB}$，故 $|FM|$ 即点 $M$ 到直线 $AB$ 的距离，于是 $$S=\frac12|AB|\cdot|FM|.$$ 由 $x_2^2=\frac{4}{\lambda}$： $$|AB|^2=(1+\lambda)^2x_2^2+\left(\frac{1-\lambda^2}{\lambda}\right)^2 =\frac{4(1+\lambda)^2}{\lambda}+\frac{(1-\lambda)^2(1+\lambda)^2}{\lambda^2} =\frac{(1+\lambda)^2}{\lambda^2}\left[4\lambda+(1-\lambda)^2\right] =\frac{(1+\lambda)^2}{\lambda^2}(1+\lambda)^2=\frac{(1+\lambda)^4}{\lambda^2},$$ 故 $|AB|=\frac{(1+\lambda)^2}{\lambda}$。 又 $$|FM|^2=\frac{(1-\lambda)^2x_2^2}{4}+4=\frac{(1-\lambda)^2}{\lambda}+4=\frac{(1-\lambda)^2+4\lambda}{\lambda}=\frac{(1+\lambda)^2}{\lambda},$$ 故 $|FM|=\frac{1+\lambda}{\sqrt{\lambda}}$。 因此 $$S=f(\lambda)=\frac12\cdot\frac{(1+\lambda)^2}{\lambda}\cdot\frac{1+\lambda}{\sqrt{\lambda}}=\frac{(1+\lambda)^3}{2\lambda^{3/2}}=\frac12\left(\sqrt\lambda+\frac1{\sqrt\lambda}\right)^3.$$ 设 $g(\lambda)=\ln f(\lambda)=3\ln(1+\lambda)-\ln 2-\frac32\ln\lambda$，则 $$g'(\lambda)=\frac{3}{1+\lambda}-\frac{3}{2\lambda}=\frac{3(\lambda-1)}{2\lambda(1+\lambda)}.$$ 当 $0<\lambda<1$ 时 $g'(\lambda)<0$，$f(\lambda)$ 递减；当 $\lambda>1$ 时 $g'(\lambda)>0$，$f(\lambda)$ 递增。 故 $\lambda=1$ 时 $f(\lambda)$ 取最小值 $$f(1)=\frac{2^3}{2}=4.$$ 所以 $S$ 的最小值为 $4$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：抛物线的切线方程与交点坐标、向量数量积为定值的判定、用导数求最值
• 核心方法：参数点法、向量法、导数法
• 避坑指南：设动点用单参数 $x_2$ 消去 $x_1$，避免双参数纠缠；交点 $M$ 落在准线上是化简数量积的关键，先求 $y_M$ 再代入。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 抛物线上两点切线交点的坐标公式 $M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{x_1{x}_2}{4}\right)$ 及其落在准线上的性质，即阿基米德三角形的典型结论

结论推广: 抛物线 $x^2=2py$ 上两点切线交点恒在准线上，且焦点与交点的连线垂直于两切点弦（$FM\perp AB$）

方法推广: 解析几何中处理抛物线切线与向量问题时，用参数点表示各量，先化简交点坐标再代入目标式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.09 阿基米德三角形
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2007-江苏卷-19 解-抛物线切线与中点弦
• 2009-浙江卷文-22 解-抛物线切线
• 2011-浙江卷文-22 解-抛物线切线与圆