2006-全国卷II理-14 填-三角形中线的向量性质与数量公式

本题导读

本题考查三角形内角和与等差数列性质的交汇，以及利用余弦定理与中线定理求解特定中线长度的综合计算。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(理)） 已知 $△ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 成等差数列，且 $AB=1,BC=4$，则边 $BC$ 上的中线 $AD$ 的长为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

利用内角和定理 $A+B+C=180^{\circ }$ 和等差数列中项性质 $2B=A+C$，求出中角 $B$ 的确切度数。 确定中线 $AD$ 分割底边后的几何量： $D$ 为 $BC$ 中点，则 $BD=\frac{1}{2}BC=2$。 锁死 $△ABD$，已知两边 $AB=1,BD=2$ 以及它们夹角 $B$ 的度数，直接套用余弦定理公式求出第三边 $AD$ 的长度。

✅【答案】

Success

$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解：在 $△ABC$ 中，因为三个内角 $A,B,C$ 成等差数列，根据等差中项性质有： $A+C=2B$ 又因为三角形内角和定理满足： $A+B+C=180^{\circ }⟹(A+C)+B=180^{\circ }$ 将 $A+C=2B$ 代入上式可得： $2B+B=180^{\circ }⟹3B=180^{\circ }⟹B=60^{\circ }$

因为 $D$ 是边 $BC$ 的中点，且已知 $BC=4$，所以： $BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\times 4=2$

在 $△ABD$ 中，已知边长 $AB=1$， $BD=2$，且夹角 $\angle B=60^{\circ }$。 根据余弦定理，对边 $AD$ 的平方公式为： $A{D}^2=A{B}^2+B{D}^2-2AB\cdot BD\cdot \cos B$ 将已知几何数据全面代入公式中： $A{D}^2=1^2+2^2-2\times 1\times 2\times \cos 60^{\circ }$ $A{D}^2=1+4-4\times \frac{1}{2}=5-2=3$

因为长度必须为正数，对两边开方可得： $AD=\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等差中项锁定三角形内角恒为 $60^{\circ }$ 的经典结论、余弦定理基本求边公式。
• 核心方法：分块直角（或斜角）三角形求解法、平行四边形中线定理法（$2(A{B}^2+A{C}^2)=B{C}^2+4A{D}^2$）。
• 避坑指南：
• 求出 $B=60^{\circ }$ 后，注意中线 $AD$ 落在边 $BC$ 上，其所针对的直角三角子区间是 $△ABD$，不要习惯性地去用大三角形 $△ABC$ 的余弦定理算 $AC$，那样会极大地增加运算量。
• 区分清楚 $BD$ 是底边的一半（等于2），代入余弦定理公式时别带错成大边 4。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是高考解三角形小题的经典代表。通过将等差数列这一知识外壳与几何中线问题复合，重点考查平面图形割补与解三角工具的组合效能。 结论推广: 任何三角形中，若一内角为 $60^{\circ }$，且该角两旁邻边边长比为 $1:4$，则夹该角对应的中线长与较短邻边的比值恒为 $\sqrt{3}:1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 11.02 余弦定理
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2007-天津文-15 填-中线向量数量积
• 2012-浙江卷文-15 填-向量数量积中线模型