2006-全国卷II理-12 单-轴对称与中位数原则

本题导读

本题考查多重绝对值函数和的最值。利用绝对值在数轴上的几何意义，将代数式转化为多点距离之和求最值。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(理)） 函数 ${\sum }_{n=1}^{19}|x-n|$ 的最小值为()

A. $190$　　　　　　B. $171$　　　　　　C. $90$　　　　　　D. $45$

🔍【思路分析】

破题导航

绝对值几何意义： $|x-n|$ 在数轴上表示动点 $x$ 到定点 $n$ 的距离。原函数 $f(x)=|x-1|+|x-2|+\cdots +|x-19|$ 即表示数轴上动点 $x$ 到 19 个整数点 $\{1,2,\dots ,19\}$ 的总距离之和。 中位数原则：要使动点到一组定点的距离之和最小，该动点必须位于这组定点的“中位数”处。对于 19 个互异点（奇数个），其中位数是最中间的第 10 个点，即 $x=10$。 定量代入求和：将 $x=10$ 代入原函数，利用等差数列求和公式算出各绝对值项相加的数值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：设目标函数为 $f(x)={\sum }_{n=1}^{19}|x-n|=|x-1|+|x-2|+\cdots +|x-19|$。 根据绝对值的几何意义， $|x-n|$ 表示数轴上坐标为 $x$ 的点到坐标为 $n$ 的点的距离。 因此， $f(x)$ 表示数轴上的动点 $x$ 到 19 个定点 $1,2,3,\dots ,19$ 的距离的总和。

由中位数定理：当动点 $x$ 位于所有定点的中位数处时，总距离之和最小。 由于共有 19 个定点（奇数个），最中间的项为第 $\frac{19+1}{2}=10$ 个点。 所以，当 $x=10$ 时，函数 $f(x)$ 取得最小值。

将 $x=10$ 直接代入原函数进行求和计算： $f(10)=|10-1|+|10-2|+\cdots +|10-9|+|10-10|+|10-11|+\cdots +|10-19|$ $f(10)=9+8+\cdots +1+0+1+\cdots +8+9$

求和序列由两组对称的从 1 到 9 的连续正整数构成： $f(10)=2\times (1+2+3+4+5+6+7+8+9)$ 由等差数列前 $n$ 项和公式： $1+2+\cdots +9=\frac{(1+9)\times 9}{2}=45$ 所以，最小总距离和为： $f(10)=2\times 45=90$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：绝对值距离和最值的中位数模型（奇数个点在中间点处取最小）、等差数列求和。
• 核心方法：数轴中位数法。
• 避坑指南：不要用去掉绝对值的方法分区间写分段函数，选择题中直接利用几何意义取中位数 $x=10$ 即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题考查函数最值与绝对值几何意义。 结论推广: 对于一般形式的函数 $f(x)={\sum }_{n=1}^{2k+1}|x-n|$ （共有 $2k+1$ 个连续整数点），其最小值恒在 $x=k+1$ 处取得，且最小总和恒等于 $k(k+1)$。本题中 $2k+1=19⟹k=9$，代入得： $9\times (9+1)=90$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 05.02 函数的四大性质
• 14.02 百分位数与四分位数

类题演练 (Links)

• 2010-福建卷文-09 单-茎叶图中位数平均数
• 2024-新高考II卷-04 单-统计中位数极差平均数