2006-全国卷II理-10 单-函数解析式的求解

本题导读

本题考查三角二倍角降幂公式的代数应用以及抽象函数解析式的求解。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(理)） 若 $f(\sin x)=3-\cos 2x$，则 $f(\cos x)=$()

A. $3-\cos 2x$　　　　B. $3-\sin 2x$　　　　C. $3+\cos 2x$　　　　D. $3+\sin 2x$

🔍【思路分析】

破题导航

将已知等式右侧的 $\cos 2x$ 利用二倍角公式展开为关于 $\sin x$ 的表达式： $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$。 变形得到 $f(\sin x)=2+2{\sin }^{2}x$，通过整体代换设 $t=\sin x$，求出通用函数解析式 $f(t)=2+2t^2$。 将自变量替换为 $\cos x$，得到 $f(\cos x)=2+2{\cos }^{2}x$，再利用余弦二倍角公式逆向还原成关于 $2x$ 的形式。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：方法一：整体代换法 因为 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$，将其代入已知等式右侧可得： $f(\sin x)=3-(1-2{\sin }^{2}x)=2+2{\sin }^{2}x$

运用整体代换思想，令 $t=\sin x$（其中 $t\in [-1,1]$），得到函数 $f(t)$ 的通用解析式为： $f(t)=2+2t^2$

现在求解 $f(\cos x)$，只需将自变量 $t$ 替换为 $\cos x$： $f(\cos x)=2+2{\cos }^{2}x$

再次应用二倍角余弦的变形公式 $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$ 代入上式： $f(\cos x)=1+(2{\cos }^{2}x)=1+(1+\cos 2x)=2+\cos 2x\text{?}$ 注：审视原题选项，我们用更直接的因式性质校验： $f(\cos x)=2+2(1-{\sin }^{2}x)=4-2{\sin }^{2}x$ 因为 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x⟹2{\sin }^{2}x=1-\cos 2x$，代入得： $f(\cos x)=4-(1-\cos 2x)=3+\cos 2x$

方法二：诱导公式转化法 利用诱导公式 $\cos x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$，直接代入已知解析式： $f(\cos x)=f\left(\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\right)=3-\cos \left[2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)\right]$ 展开括号内的角度： $f(\cos x)=3-\cos (\pi -2x)$ 运用诱导公式 $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$，可得： $f(\cos x)=3-(-\cos 2x)=3+\cos 2x$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：余弦二倍角公式的三种表达形式互换、诱导公式在复合函数自变量中的平移应用。
• 核心方法：诱导公式秒杀法。
• 避坑指南：方法一化简时注意 $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1⟹2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$，前面加常数 2 变形时不要算错符号。采用方法二通过角度整体平移能彻底规避代数运算带来的失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查三角二倍角恒等变形与映射关系的经典小题，重在考查对三角函数对称性在抽象解析式中延伸能力的控制。 结论推广: 若已知 $f(\sin x)=g(\cos 2x)$，由于 $\cos 2x$ 为关于 $\sin x$ 的偶二次型，则 $f(\cos x)$ 的结果恒为将原解析式中的 $\cos 2x$ 改写为 $-\cos 2x$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2011-湖北卷文-03 单-奇偶分解解析式
• 2014-福建卷理-07 单-分段函数的解析式与图象