2006-全国卷II理-09 单-双曲线的离心率

本题导读

本题考查焦点在 $x$ 轴上的标准双曲线渐近线方程的代数结构，以及离心率 $e$ 的公式计算。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的一条渐近线方程为 $y=\frac{4}{3}x$，则双曲线的离心率为()

A. $\frac{5}{3}$　　　　　　　B. $\frac{4}{3}$　　　　　　　C. $\frac{5}{4}$　　　　　　　D. $\frac{3}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

根据双曲线标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 判定焦点在 $x$ 轴上，写出其标准的渐近线通用方程 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 对照已知渐近线 $y=\frac{4}{3}x$，建立比例方程 $\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$。 利用双曲线基本平方和关系 $c^2=a^2+b^2$ 以及离心率定义 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}$，直接代入比例求出结果。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：对于焦点在 $x$ 轴上的标准双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$)，其渐近线方程为： $y=\pm \frac{b}{a}x$

已知其中一条渐近线方程为 $y=\frac{4}{3}x$，通过对照系数可得： $\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$

设 $a=3k$，则 $b=4k$（其中 $k>0$）。 根据双曲线中 $a,b,c$ 的勾股几何量恒等关系： $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(3k{)}^2+(4k{)}^2}=\sqrt{9k^2+16k^2}=5k$

根据双曲线离心率的定义，可得： $e=\frac{c}{a}=\frac{5k}{3k}=\frac{5}{3}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：焦点在不同轴上的双曲线渐近线斜率识别（$x$轴上为$\frac{b}{a}$， $y$轴上为$\frac{a}{b}$）、离心率定义通式。
• 核心方法：参数比例消元法。
• 避坑指南：
• 务必分清椭圆与双曲线中 $a,b,c$ 关系的区别：双曲线中是 $c^2=a^2+b^2$ （ $c$ 最大），切勿记错为 $a^2=b^2+c^2$。
• 也可以直接套用离心率的平方公式： $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2$，一步直接得出结果。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是解析几何中考查双曲线核心性质的传统经典基础题，属于高考对圆锥曲线几何特征的刚性考查要求。 结论推广: 焦点在 $x$ 轴上的双曲线，若渐近线斜率为 $k$，则其离心率恒满足 $e=\sqrt{1+k^2}$；若焦点在 $y$ 轴上，渐近线斜率为 $k$，则其离心率恒满足 $e=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2007-浙江卷理-09 单-双曲线离心率
• 2008-湖南文-10 单-双曲线离心率范围
• 2009-江西卷文-07 单-双曲线离心率