本题导读
本题考查椭圆的第一定义，核心在于将三角形的周长转化为焦点弦长度之和，利用动点到两焦点距离之和为定值完成代数求解。
📌【题干】
Question
（2006年全国卷II(理)） 已知 的顶点 在椭圆 上，顶点 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 边上，则 的周长是()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
设椭圆的两个焦点分别为 。不妨令顶点 为焦点 ，则另一个焦点 在边 上。 将 的周长表示为三边长之和： 。 由于 在 上，可将 拆分为 ，从而周长式变形为 。 利用椭圆定义， 在椭圆上，则 ， ，代入求出总周长 。
✅【答案】
Success
C
✍【详细解析】
Abstract
解：设椭圆的左右（或上下）两个焦点分别为 和 。 由已知条件，顶点 是椭圆的一个焦点，不妨设 。 椭圆的另一个焦点在 边上，即 。 由椭圆方程 可知， 。
根据平面图形性质， 的周长 为： 因为焦点 在线段 上，所以 。 代入周长公式并进行结合律重组可得：
又因为 ，代入上式变形为：
由于点 和点 均在椭圆上，根据椭圆的第一定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于 ：
将上述定义式代入周长表达式中： 将 代入计算：
故选 C
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：椭圆的第一定义（）、焦点三角形周长模型。
- 核心方法：定义转化法（将未知几何线段直接化为含有 的常数）。
- 避坑指南：切勿盲目去求解焦点坐标或设出 点坐标去联立方程，只要看到“两焦点”与“曲线上动点”构成的三角形，优先采用第一定义进行整体代换。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源: 本题是考查圆锥曲线基本定义的经典基础题。这类焦点弦三角形构型直接源于教材中“椭圆的几何性质”章节的课后标准证明题。 结论推广: 对于任意椭圆，若一条焦点弦 与另一个焦点 构成三角形 ，则该焦点三角形的周长恒为定值 。
🔗【关联脉络】
Multi column