2006-全国卷II理-04 单-空间几何体的表面积与面积计算

本题导读

本题考查球面截面几何性质的定量计算。核心在于利用空间勾股定理求解截面小圆半径，进而求出截面面积与大球表面积的比值。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(理)） 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比值为()

A. $\frac{3}{16}$　　　　　　B. $\frac{9}{16}$　　　　　　C. $\frac{3}{8}$　　　　　　D. $\frac{9}{32}$

🔍【思路分析】

破题导航

设大球的半径为 $R$，截面到球心的垂直距离为 $d$。由于截面过半径的中点，可确定 $d=\frac{1}{2}R$。 构造由球半径 $R$、球心到截面距离 $d$ 以及截面圆半径 $r$ 组成的经典空间直角三角形，利用勾股定理 $r^2=R^2-d^2$ 求解 $r^2$ 的代数式。 利用圆面积公式 $S_{\text{截}}=\pi r^2$ 和球表面积公式 $S_{\text{球}}=4\pi R^2$ 写出两者的比值式并化简消元。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：设球的半径为 $R$，所得截面圆的半径为 $r$。 因为平面垂直于球的一条半径，且经过该半径的中点， 所以球心到该截面平面的垂直轴距距离为： $d=\frac{1}{2}R$

根据球面截面圆的几何性质，球心、截面圆心以及截面圆周上的任意一点构成直角三角形。 由勾股定理可得截面圆半径的平方为： $r^2=R^2-d^2=R^2-{\left(\frac{1}{2}R\right)}^2=R^2-\frac{1}{4}{R}^2=\frac{3}{4}{R}^2$

计算所得截面的圆面积： $S_{\text{截}}=\pi r^2=\frac{3}{4}\pi R^2$

已知球的表面积公式为： $S_{\text{球}}=4\pi R^2$

计算两者的比值： $\frac{S_{\text{截}}}{S_{\text{球}}}=\frac{\frac{3}{4}\pi R^2}{4\pi R^2}=\frac{\frac{3}{4}}{4}=\frac{3}{4\times 4}=\frac{3}{16}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：球面截面圆半径公式（$r=\sqrt{R^2-d^2}$）、球表面积计算公式。
• 核心方法：直角三角形勾股代数化简法。
• 避坑指南：求比值时注意分母是 $4\pi R^2$，分数复合化简时别把分母的 $4$ 和分子分母的项看错， $\frac{3}{4}÷4=\frac{3}{16}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是立体几何中考查球面几何性质与面积计算的基础选择题，旨在考查对球心距、球半径、截面半径三者构成的勾股关系的定量控制。 结论推广: 若平面过球半径的 $\frac{1}{n}$ 分点（距球心为 $\frac{1}{n}R$）且垂直于该半径，则截面小圆面积与大球表面积的比值恒为 $\frac{n^2-1}{4n^2}$。本题即为 $n=2$ 的特例，代入即得 $\frac{2^2-1}{4\times 2^2}=\frac{3}{16}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2008-山东文-06 单-三视图组合体表面积
• 2014-辽宁卷理-07 单-几何体的表面积与体积计算
• 2020-北京卷-04 单-几何体表面积