2006-全国卷II理-01 单-集合的交集运算

本题导读

本题考查对数不等式的解法以及两个集合交集的代数运算。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(理)） 已知集合 $M=\{x\mid x<3\}$， $N=\{x\mid {\log }_{2}x>1\}$，则 $M\cap N=$()

A. $\varnothing$　　B. $\{x\mid 0<x<3\}$　　C. $\{x\mid 1<x<3\}$　　D. $\{x\mid 2<x<3\}$

🔍【思路分析】

破题导航

化简集合 $N$，利用对数函数的单调性解不等式 ${\log }_{2}x>1$，注意真数大于 0 的基本约束。 将集合 $M$ 与化简后的集合 $N$ 在数轴上求重叠部分（交集）。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：对于集合 $M$，已知 $M=\{x\mid x<3\}$。

对于集合 $N$，由 ${\log }_{2}x>1$ 变形为 ${\log }_{2}x>{\log }_{2}2$。 因为底数 $2>1$，对数函数 $y={\log }_{2}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增， 所以 $x>2$。 即 $N=\{x\mid x>2\}$。

计算两集合的交集： $M\cap N=\{x\mid x<3\}\cap \{x\mid x>2\}=\{x\mid 2<x<3\}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：对数不等式的初等解法、对数真数必须大于0的定义域约束。
• 核心方法：数轴交集对照法。
• 避坑指南：解对数不等式时需牢记换底对照， ${\log }_{2}x>1⟹x>2^1=2$，切勿记错幂次。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查集合基本运算的常规开篇小题，考查对数基本性质在不等式中的应用。 结论推广: 对于底数 $a>1$ 且 $M=\{x\mid x<b\}$，若 $N=\{x\mid {\log }_{a}x>c\}$，当 $a^c<b$ 时， $M\cap N=\{x\mid a^c<x<b\}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅰ文-01 单-集合的交集运算
• 2007-辽宁卷理-01 单-集合交集运算
• 2007-福建文-01 单-集合补集交集