2006-全国卷II文-18 解-等比数列求和求通项

本题导读

本题考查等比数列的前n项和。核心在于基本量法由前 n 项和求公比。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(文)） 若等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，已知 $S_4=1$，$S_8=17$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设公比为 $q$（$q\ne 1$），则 $\frac{S_8}{S_4}=\frac{1-q^8}{1-q^4}=1+q^4$。
2. 由 $S_8=17,S_4=1$ 得 $1+q^4=17$，$q^4=16$，$q=\pm 2$。
3. 分别求首项，写出通项。

✅【答案】

Success

$a_n=\frac{2^{n-1}}{15}$ 或 $a_n=\frac{(-1{)}^n\cdot 2^{n-1}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，由 $S_4=1\ne 0$ 知 $q\ne 1$． $\frac{S_8}{S_4}=\frac{a_1(1-q^8)/(1-q)}{a_1(1-q^4)/(1-q)}=\frac{1-q^8}{1-q^4}=1+q^4=17$， 故 $q^4=16$，$q=\pm 2$． 当 $q=2$ 时，$S_4=\frac{a_1(1-2^4)}{1-2}=15a_1=1$，得 $a_1=\frac{1}{15}$，故 $a_n=\frac{2^{n-1}}{15}$； 当 $q=-2$ 时，$S_4=\frac{a_1(1-(-2{)}^4)}{1-(-2)}=-5a_1=1$，得 $a_1=-\frac{1}{5}$，故 $a_n=-\frac{1}{5}\cdot (-2{)}^{n-1}=\frac{(-1{)}^n{2}^{n-1}}{5}$． 综上，$a_n=\frac{2^{n-1}}{15}$ 或 $a_n=\frac{(-1{)}^n{2}^{n-1}}{5}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列求和求通项

核心方法：$\frac{S_8}{S_4}=\frac{1-q^8}{1-q^4}=1+q^4=17\Rightarrow q^4=16$，$q=\pm 2$；$q=2$ 时 $a_1=\frac{1}{15}$，$q=-2$ 时 $a_1=-\frac{1}{5}$

避坑指南：$S_8\ne 8S_4$，用 $\frac{S_8}{S_4}=1+q^4$；$q$ 有 $\pm 2$ 两解，对应 $a_n=\frac{2^{n-1}}{15}$ 或 $\frac{(-1{)}^n{2}^{n-1}}{5}$，别漏负公比

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 等比数列求和公式求通项，考查基本量

结论推广: $\frac{S_8}{S_4}=1+q^4$ 求公比，注意公比的双解

方法推广: 等比数列注意 $q$ 的正负双解，勿漏负公比的情况

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅱ文-13 填-等比数列基本量
• 2008-新课标Ⅰ文-08 单-等比数列求和比
• 2009-北京文-10 填-等比数列求和