2006-全国卷II文-09 单-双曲线渐近线离心率

本题导读

本题考查双曲线的渐近线，以及双曲线的离心率。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的一条渐近线方程为 $y=\frac{4}{3}x$，则双曲线的离心率为()

A. $\frac{5}{3}$　　　　　　　B. $\frac{4}{3}$　　　　　　　C. $\frac{5}{4}$　　　　　　　D. $\frac{3}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 焦点在 $x$ 轴的双曲线渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
2. 由 $\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$。
3. $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}=\sqrt{1+\frac{16}{9}}=\frac{5}{3}$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，由题得 $\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$． 离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}=\sqrt{1+\frac{16}{9}}=\frac{5}{3}$． 故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线渐近线离心率

核心方法：渐近线 $y=\frac{4}{3}x$ 即 $\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$，$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{5}{3}$

避坑指南：焦点在 $x$ 轴时渐近线斜率 $=\frac{b}{a}$；$e=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}=\frac{5}{3}$，别误用 $\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$ 得 $\frac{5}{4}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 双曲线渐近线与离心率的关系，常考结论

结论推广: 焦点在 $x$ 轴时渐近线斜率 $\frac{b}{a}$，$e=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}$

方法推广: 焦点在 $x$ 轴时 $e=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}$，焦点在 $y$ 轴时 $e=\sqrt{1+{\left(\frac{a}{b}\right)}^2}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-11 单-双曲线焦点三角形离心率
• 2009-大纲Ⅰ文-05 单-双曲线渐近线离心率
• 2009-安徽卷文-06 单-双曲线离心率