2006-全国卷II文-05 单-椭圆定义求三角形周长

本题导读

本题考查椭圆的定义，以及三角形的周长。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(文)） 已知 $△ABC$ 的顶点 $B,C$ 在椭圆 $\frac{x^2}{3}+y^2=1$ 上，顶点 $A$ 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 $BC$ 边上，则 $△ABC$ 的周长是()

A. $2\sqrt{3}$　　　　　　　B. $6$　　　　　　　C. $4\sqrt{3}$　　　　　　　D. $12$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 椭圆 $\frac{x^2}{3}+y^2=1$ 中 $a^2=3$，$a=\sqrt{3}$。
2. 设另一焦点为 $F$，$F$ 在 $BC$ 边上。
3. 由椭圆定义 $AB+AF=2a$，$AC+CF=2a$，故周长 $=AB+BC+AC=AB+(BF+FC)+AC=4a=4\sqrt{3}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

椭圆 $\frac{x^2}{3}+y^2=1$ 中 $a^2=3$，$a=\sqrt{3}$，两焦点为 $A,F$． 由椭圆定义，$B,C$ 是椭圆上的点，故 $AB+BF=2a$，$AC+CF=2a$． 又 $F$ 在 $BC$ 边上，故 $BC=BF+FC$， 所以 $△ABC$ 的周长 $=AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=4a=4\sqrt{3}$． 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆定义求三角形周长

核心方法：椭圆 $\frac{x^2}{3}+y^2=1$ 中 $a^2=3$；焦点 $A$ 与另一焦点到 $B,C$ 距离和为 $2a$，周长 $=4a=4\sqrt{3}$

避坑指南：椭圆上任一点到两焦点距离和为 $2a$；$△ABC$ 周长由两焦点出发被分成 $2a+2a=4a$，别把 $a$ 与 $a^2$ 混用

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 椭圆定义的应用，把焦点在边上转化为到两焦点距离和

结论推广: 椭圆定义：椭圆上点到两焦点距离和为 $2a$，周长 $=4a$

方法推广: 遇到焦点优先想定义（距离和为定值），常比联立方程更简洁

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-12 单-椭圆焦半径和
• 2008-大纲Ⅰ文-15 填-椭圆定义离心率
• 2008-江西文-07 单-椭圆轨迹离心率范围