2006-全国卷I理-22 解-不等式的证明与放缩

本题导读

本题是一道经典的数列压轴题。第一问通过 $S_n-S_{n-1}=a_n$ 递推关系构造等比数列，求出通项公式；第二问通过代入通项求出分式 $T_n$，构造出适合裂项相消的特征结构进行求和放缩证明。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(理)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项的和 $S_n=\frac{4}{3}{a}_n-\frac{1}{3}\times 2^{n+1}+\frac{2}{3}$， $n=1,2,3,\dots$.

(1) 求首项 $a_1$ 与通项 $a_n$；

(2) 设 $T_n=\frac{2^n}{S_n}$， $n=1,2,3,\dots$，证明： ${\sum }_{i=1}^n{T}_i<\frac{3}{2}$.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：令 $n=1$，由 $S_1=a_1$ 建立方程求出首项 $a_1$。当 $n\ge 2$ 时，由 $S_n=\frac{4}{3}{a}_n-\frac{1}{3}\times 2^{n+1}+\frac{2}{3}$ 与 $S_{n-1}=\frac{4}{3}{a}_{n-1}-\frac{1}{3}\times 2^n+\frac{2}{3}$ 作差，利用 $S_n-S_{n-1}=a_n$ 构造出关于 $a_n$ 和 $a_{n-1}$ 的递推式，通过两边同除以 $2^n$ 或配方转化为等比数列求出通项。 第二问：将第一问求得的 $a_n$ 代入原式求出 $S_n$ 的确切代数式。把 $S_n$ 代入 $T_n=\frac{2^n}{S_n}$，化简得到一个分式形式。观察分母的因式结构，利用裂项公式 $\frac{1}{A\cdot B}=\frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right)$ 将 $T_n$ 进行裂项，求和后抵消中间项，从而证明不等式。

✅【答案】

Success

(1) $a_1=2$，$a_n=4^n-2^n$（$n=1,2,3,\dots$）；

(2) 见解析（${\sum }_{i=1}^n{T}_i=\frac{3}{2}-\frac{3}{2(2^{n+1}-1)}<\frac{3}{2}$）。

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 当 $n=1$ 时，由 $S_1=a_1$ 代入已知递推式得： $a_1=\frac{4}{3}{a}_1-\frac{1}{3}\times 2^{1+1}+\frac{2}{3}⟹a_1=\frac{4}{3}{a}_1-\frac{4}{3}+\frac{2}{3}$ $a_1=\frac{4}{3}{a}_1-\frac{2}{3}⟹\frac{1}{3}{a}_1=\frac{2}{3}⟹a_1=2$

当 $n\ge 2$ 时，有： $S_n=\frac{4}{3}{a}_n-\frac{1}{3}\times 2^{n+1}+\frac{2}{3}\text{(1)}$ $S_{n-1}=\frac{4}{3}{a}_{n-1}-\frac{1}{3}\times 2^n+\frac{2}{3}\text{(2)}$ ① - ② 得： $S_n-S_{n-1}=\frac{4}{3}{a}_n-\frac{4}{3}{a}_{n-1}-\frac{1}{3}\times 2^{n+1}+\frac{1}{3}\times 2^n$ 由于 $S_n-S_{n-1}=a_n$，且 $2^{n+1}=2\times 2^n$，代入化简： $a_n=\frac{4}{3}{a}_n-\frac{4}{3}{a}_{n-1}-\frac{2}{3}\times 2^n+\frac{1}{3}\times 2^n$ $a_n=\frac{4}{3}{a}_n-\frac{4}{3}{a}_{n-1}-\frac{1}{3}\times 2^n$ 移项调整位置： $\frac{4}{3}{a}_{n-1}+\frac{1}{3}\times 2^n=\frac{1}{3}{a}_n$ 两边同乘以 3 得： $a_n=4a_{n-1}+2^n$

为了求出 $a_n$，两边同除以 $2^n$ 进行构造变换： $\frac{a_n}{2^n}=\frac{4a_{n-1}}{2^n}+1⟹\frac{a_n}{2^n}=2\times \frac{a_{n-1}}{2^{n-1}}+1$ 设 $b_n=\frac{a_n}{2^n}$，则 $b_1=\frac{a_1}{2^1}=\frac{2}{2}=1$。递推关系变为： $b_n=2b_{n-1}+1$ 对此递推式进行配方两边加 1： $b_n+1=2(b_{n-1}+1)$ 由于 $b_1+1=1+1=2\ne 0$， 所以数列 $\{b_n+1\}$ 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列。 故： $b_n+1=2\times 2^{n-1}=2^n⟹b_n=2^n-1$ 将 $b_n=\frac{a_n}{2^n}$ 代回： $\frac{a_n}{2^n}=2^n-1⟹a_n=4^n-2^n$ 因为当 $n=1$ 时， $4^1-2^1=2=a_1$ 同样符合上式， 所以通项公式为： $a_n=4^n-2^n(n=1,2,3,\dots )$

(2) 证明：将 $a_n=4^n-2^n$ 代入原设 $S_n$ 的表达式中： $S_n=\frac{4}{3}(4^n-2^n)-\frac{1}{3}\times 2^{n+1}+\frac{2}{3}=\frac{4\times 4^n-4\times 2^n-2\times 2^n+2}{3}$ $S_n=\frac{4^{n+1}-6\times 2^n+2}{3}=\frac{4\cdot (2^n{)}^2-6\cdot 2^n+2}{3}$ 对分子部分进行因式分解： $4\cdot (2^n{)}^2-6\cdot 2^n+2=2(2\cdot 2^n-1)(2^n-1)=(2^{n+1}-1)(2^n-1)$ 故： $S_n=\frac{(2^n-1)(2^{n+1}-1)}{3}$

由此可得 $T_n$ 的解析式为： $T_n=\frac{2^n}{S_n}=\frac{3\cdot 2^n}{(2^n-1)(2^{n+1}-1)}$ 注意到分母中两项的差为： $(2^{n+1}-1)-(2^n-1)=2^{n+1}-2^n=2^n$，这恰好与分子部分的 $2^n$ 相等。 因此，可以进行标准的裂项变形： $T_n=3\times \frac{2^n}{(2^n-1)(2^{n+1}-1)}=3\left(\frac{1}{2^n-1}-\frac{1}{2^{n+1}-1}\right)$

对其进行前 $n$ 项求和： ${\sum }_{i=1}^n{T}_i=T_1+T_2+\cdots +T_n$ ${\sum }_{i=1}^n{T}_i=3\left[\left(\frac{1}{2^1-1}-\frac{1}{2^2-1}\right)+\left(\frac{1}{2^2-1}-\frac{1}{2^3-1}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{2^n-1}-\frac{1}{2^{n+1}-1}\right)\right]$ 中间正负项依次完全抵消，只剩下首项和尾项： ${\sum }_{i=1}^n{T}_i=3\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2^{n+1}-1}\right)=3-\frac{3}{2^{n+1}-1}$

因为对任意 $n\ge 1$， 恒有 $2^{n+1}-1\ge 3>0$，所以 $\frac{3}{2^{n+1}-1}>0$。 从而有： ${\sum }_{i=1}^n{T}_i=3-\frac{3}{2^{n+1}-1}<3$ (注：根据原题干的数值精确边界，由于 $n\ge 1⟹2^{n+1}-1\ge 3⟹\frac{3}{2^{n+1}-1}\le 1$，所以和的取值范围实际可以进一步收缩。为了严格契合原题干目标 $\frac{3}{2}$，重新校验分子系数：原题目标为 $\frac{3}{2}$ 对应裂项常数应为 1 分子展开，由于本处的裂项系数为 3 导致总上限为 3。再次审查 $S_n$ 表达式发现： $S_n=\frac{4\cdot 4^n-4\cdot 2^n-2\cdot 2^n+2}{3}$，化简在因式分解中分子提取 2 后得 $2(2^n-1)(2^{n+1}-1)$ 导致分母带有系数 2 漏乘，补齐得 $S_n=\frac{2(2^n-1)(2^{n+1}-1)}{3}$)。

修正带有系数 2 的正确化简： $S_n=\frac{2(2^n-1)(2^{n+1}-1)}{3}$ 则： $T_n=\frac{2^n}{S_n}=\frac{3\cdot 2^n}{2(2^n-1)(2^{n+1}-1)}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2^n-1}-\frac{1}{2^{n+1}-1}\right)$ 进行前 $n$ 项求和： ${\sum }_{i=1}^n{T}_i=\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{2^{n+1}-1}\right)=\frac{3}{2}-\frac{3}{2(2^{n+1}-1)}$ 因为对一切 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$， 恒有 $\frac{3}{2(2^{n+1}-1)}>0$， 所以： ${\sum }_{i=1}^n{T}_i<\frac{3}{2}$ 得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点： $S_n$ 与 $a_n$ 递推作差法、除以指数特征进行数列构造、因式分解多项式、分式裂项相消求和法。
• 核心方法：除以 $2^n$ 齐次消元法、裂项求和消项法。
• 避坑指南：
• 第一问求出关系式 $a_n=4a_{n-1}+2^n$ 后，常见错误是直接看成等差或等比。必须两边同除以 $2^n$ 或 $4^n$ 构造成标准的一阶线性递推型 $b_n=2b_{n-1}+1$ 才能配方。
• 第二问在对 $S_n$ 分子进行因式分解时容易看错常数系数，要用十字相乘法仔细校验。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是经典的高考数列压轴大题模型（递推通项+裂项求和放缩），主要考查代数结构的变形敏感度以及运算的彻底性。 结论推广: 任何形如 $T_n=\frac{\lambda \cdot q^n}{(q^n-1)(q^{n+1}-1)}$ 构型的数列求和，其本质均为前项与后项的差，求和结果必满足 $\sum T_i=\frac{\lambda }{q-1}\left(1-\frac{1}{q^{n+1}-1}\right)$，其极限上限为 $\frac{\lambda }{q-1}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2007-四川卷理-22 解-数列放缩法级数有界性
• 2007-重庆卷理-21 解-放缩法证明放缩不等式
• 2009-重庆卷文-21 解-递推数列放缩