2006-全国卷I理-19 解-直线与平面所成的角

本题导读

本题是一道结合公垂线背景的立体几何大题。第一问要求利用线面垂直的性质完成线线垂直的证明；第二问可以通过建立空间直角坐标系，利用法向量定量求解线面角的正弦值，再转换为余弦值。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(理)） 如图， $l_1,l_2$ 是互相垂直的异面直线， $MN$ 是它们的公垂线段. 点 $A,B$ 在 $l_1$ 上， $C$ 在 $l_2$ 上， $AM=MB=MN$.

(1) 证明： $AC\perp NB$；

(2) 若 $\angle ACB=60^{\circ }$，求 $NB$ 与平面 $ABC$ 所成角的余弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：由公垂线定义知 $MN\perp l_1,MN\perp l_2$，且 $l_1\perp l_2$。可建立以 $M$ 为原点， $MB,MN$ 分别为 $x,y$ 轴，过 $M$ 且平行于 $l_2$ 的直线为 $z$ 轴的空间直角坐标系，写出各向量坐标，通过数量积为 0 证明垂直。 第二问：设 $MN=1$，则 $A,B,N$ 坐标确定，设 $C(0,1,z)$。由 $\angle ACB=60^{\circ }$ 利用向量夹角公式 $\cos 60^{\circ }=\frac{\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}|\cdot |\overrightarrow{CB}|}$ 求出 $z$ 的值。接着求出平面 $ABC$ 的法向量 $\vec{n}$，计算 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{NB}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{NB}|\cdot |\vec{n}|}$ 得到线面角的正弦值，最后利用平方关系化为余弦值。

✅【答案】

Success

因此cos θ= √1 −\dfrac{1}{3} =√63

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：因为 $MN$ 是互相垂直的异面直线 $l_1,l_2$ 的公垂线段，所以 $MN\perp l_1,MN\perp l_2$，且 $l_1\perp l_2$。 以 $M$ 为原点，射线 $MB$ 的方向为 $x$ 轴正方向，射线 $MN$ 的方向为 $y$ 轴正方向，过 $M$ 且平行于 $l_2$ 的直线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系 $M-xyz$。

设 $AM=MB=MN=1$。则有关各点的坐标分别为： $M(0,0,0),B(1,0,0),A(-1,0,0),N(0,1,0)$ 因为 $C\in l_2$，且 $l_2\parallel z$ 轴且过点 $N(0,1,0)$，故可设 $C(0,1,c)$，其中 $c\ne 0$。

写出相关向量的坐标： $\overrightarrow{AC}=C-A=(1,1,c)$ $\overrightarrow{NB}=B-N=(1,-1,0)$

计算两向量的数量积： $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{NB}=1\times 1+1\times (-1)+c\times 0=1-1+0=0$ 因为 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{NB}=0$，所以 $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{NB}$，即 $AC\perp NB$。

(2) 解：由 (1) 可知： $\overrightarrow{CA}=A-C=(-1,-1,-c),\overrightarrow{CB}=B-C=(1,-1,-c)$ 则： $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=(-1)\times 1+(-1)\times (-1)+(-c)\times (-c)=-1+1+c^2=c^2$ $|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{(-1{)}^2+(-1{)}^2+(-c{)}^2}=\sqrt{2+c^2}$ $|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+(-c{)}^2}=\sqrt{2+c^2}$

因为已知 $\angle ACB=60^{\circ }$，根据向量夹角公式： $\cos 60^{\circ }=\frac{\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}|\cdot |\overrightarrow{CB}|}=\frac{c^2}{2+c^2}=\frac{1}{2}$ 解得： $2c^2=2+c^2⟹c^2=2$ 不妨取 $c=\sqrt{2}$，则 $C(0,1,\sqrt{2})$。 此时： $\overrightarrow{AB}=(2,0,0)$， $\overrightarrow{AC}=(1,1,\sqrt{2})$。

设平面 $ABC$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=2x=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{AC}=x+y+\sqrt{2}z=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-\sqrt{2}z\end{array}$ 令 $z=1$，得 $\vec{n}=(0,-\sqrt{2},1)$，其模长为 $|\vec{n}|=\sqrt{0+2+1}=\sqrt{3}$。

已知 $\overrightarrow{NB}=(1,-1,0)$，其模长为 $|\overrightarrow{NB}|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+0}=\sqrt{2}$。 设直线 $NB$ 与平面 $ABC$ 所成的角为 $\theta$，则： $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{NB}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{NB}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{|1\times 0+(-1)\times (-\sqrt{2})+0\times 1|}{\sqrt{2}\times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

根据同角三角函数平方和关系，直线 $NB$ 与平面 $ABC$ 所成角的余弦值为： $\cos \theta =\sqrt{1-{\sin }^2\theta }=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：公垂线构造空间坐标系、向量数量积证明线线垂直、线面角的向量求法。
• 核心方法：空间直角坐标系法。
• 避坑指南：
• 第二问利用夹角公式求 $c^2$ 时，注意分母是两个模长相乘，由对称性可知 $|\overrightarrow{CA}|=|\overrightarrow{CB}|$，可以直接开方合并。
• 最终求的是线面角的余弦值。用向量法 $\frac{|\vec{v}\cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}$ 算出来的是线面角的正弦值 $\sin \theta$，必须通过 $\cos \theta =\sqrt{1-{\sin }^2\theta }$ 进行二次转化。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是立体几何中关于异面直线距离（公垂线）和线面角考查的经典压轴大题，旨在考查利用空间坐标系将纯几何语言高度代数化的运算能力。 结论推广: 设 $MN$ 为异面直线 $l_1,l_2$ 的公垂线，当两直线互相垂直且点满足对称比例关系时，空间构型具有极强的单调坐标投影特征，所有线线夹角和线面夹角完全由点在线上的截距参数决定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01 空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷I理-19 解-线面角
• 2009-湖南卷文-18 解-三棱柱线面角
• 2010-浙江卷文-20 解-翻折线面平行与线面角