2006-全国卷I理-18 解-离散型随机变量的分布列与数学期望

本题导读

本题考查互斥事件、独立事件的概率计算方法，以及二项分布模型的分布列与期望求解。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(理)） $A,B$ 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验. 每个试验组由 4 只小白鼠组成，其中 2 只服用 $A$，另 2 只服用 $B$，然后观察疗效. 若在一个试验组中，服用 $A$ 有效的小白鼠的只数比服用 $B$ 有效的多，就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用 $A$ 有效的概率为 $\frac{2}{3}$，服用 $B$ 有效的概率为 $\frac{1}{2}$.

(1) 求一个试验组为甲类组的概率；

(2) 观察 3 个试验组，用 $\xi$ 表示这 3 个试验组中甲类组的个数，求 $\xi$ 的分布列和数学期望.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：设服用 $A$ 有效的小白鼠有 $X$ 只，服用 $B$ 有效的有 $Y$ 只。 $X,Y$ 均服从二项分布。甲类组的条件是 $X>Y$。由于 $X,Y\in \{0,1,2\}$，可对 $X$ 的取值进行分类讨论（$X=1$ 且 $Y=0$； $X=2$ 且 $Y=0$； $X=2$ 且 $Y=1$），利用独立性分别求出概率后再求和。 第二问：由题意可知， 3 个试验组的观察属于独立重复试验， $\xi \sim B(3,p)$，其中 $p$ 为第一问所求概率。写出所有可能取值，利用二项分布概率公式列出分布列，最后利用 $E\xi =np$ 计算期望。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{4}{9}$

(2) $\xi$ 的分布列为

$\xi$	0	1	2	3
$P$	$\frac{125}{729}$	$\frac{300}{729}$	$\frac{240}{729}$	$\frac{64}{729}$

数学期望 $E\xi =\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 设一个试验组中，服用 $A$ 药有效的小白鼠只数为 $X$，服用 $B$ 药有效的小白鼠只数为 $Y$。 依题意可知， $X\sim B\left(2,\frac{2}{3}\right)$， $Y\sim B\left(2,\frac{1}{2}\right)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立。 要使该试验组为甲类组，必须满足 $X>Y$。 由于 $X,Y$ 的可能取值为 0, 1, 2，故 $X>Y$ 包含以下三种互斥情况：

① $X=1$ 且 $Y=0$： $P(X=1)=C_2^1\times \frac{2}{3}\times \left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9}$ $P(Y=0)=C_2^0\times {\left(1-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ $P_1=P(X=1)\cdot P(Y=0)=\frac{4}{9}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{9}$

② $X=2$ 且 $Y=0$： $P(X=2)=C_2^2\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$ $P_2=P(X=2)\cdot P(Y=0)=\frac{4}{9}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{9}$

③ $X=2$ 且 $Y=1$： $P(Y=1)=C_2^1\times \frac{1}{2}\times \left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$ $P_3=P(X=2)\cdot P(Y=1)=\frac{4}{9}\times \frac{1}{2}=\frac{2}{9}$

所以，一个试验组为甲类组的概率为： $p=P_1+P_2+P_3=\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{2}{9}=\frac{4}{9}$

(2) 依题意，随机变量 $\xi$ 的可能取值为 0, 1, 2, 3，且 $\xi \sim B\left(3,\frac{4}{9}\right)$。 各取值的概率计算如下： $P(\xi =0)=C_3^0\times {\left(1-\frac{4}{9}\right)}^3={\left(\frac{5}{9}\right)}^3=\frac{125}{729}$ $P(\xi =1)=C_3^1\times \frac{4}{9}\times {\left(\frac{5}{9}\right)}^2=3\times \frac{4}{9}\times \frac{25}{81}=\frac{300}{729}$ $P(\xi =2)=C_3^2\times {\left(\frac{4}{9}\right)}^2\times \frac{5}{9}=3\times \frac{16}{81}\times \frac{5}{9}=\frac{240}{729}$ $P(\xi =3)=C_3^3\times {\left(\frac{4}{9}\right)}^3=\frac{64}{729}$

所以， $\xi$ 的概率分布列为：

$\xi$	0	1	2	3
$P$	$\frac{125}{729}$	$\frac{300}{729}$	$\frac{240}{729}$	$\frac{64}{729}$

由于 $\xi$ 服从二项分布，其数学期望为： $E\xi =n\cdot p=3\times \frac{4}{9}=\frac{4}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：独立试验状态下的二项分布概率、互斥分解思维、二项分布期望公式。
• 核心方法：分类讨论法、公式法。
• 避坑指南：第一问列举 $X>Y$ 的情形时容易遗漏。应严格按照 $X$ 的取值递增排查。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是应用题背景的概率统计压轴题，源于教材中“独立重复试验与二项分布”的综合模型。 结论推广: 若 $X\sim B(n,p_1),Y\sim B(n,p_2)$，则 $X>Y$ 的概率可通过联立两离散型变量的联合分布概率和 ${\sum }_{k=1}^{n}P(X=k)\cdot P(Y<k)$ 严格求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷I理-18 解-离散型随机变量分布列数学期望
• 2008-江西卷理-18 解-分布列
• 2008-湖北卷理-17 解-分布列