2006-全国卷I理-14 填-目标函数的最值求解

本题导读

本题考查利用数形结合图解法求解简单二元线性规划目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(理)） 设 $z=2y-x$，式中变量 $x,y$ 满足下列条件： $\{\begin{array}{l}2x-y\ge -1\\ 3x+2y\le 23\\ y\ge 1\end{array}$，则 $z$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

将三个二元一次不等式在直角坐标系中画出对应的边界直线，围成封闭的可行域三角形区域。 求解该可行域的所有顶点坐标。 将目标函数 $z=2y-x$ 变形为斜截式直线方程 $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}z$。 观察得知，纵截距 $\frac{1}{2}z$ 最大时 $z$ 最大。将可行域的各个顶点坐标依次代入目标函数进行定值对比，最大者即为所求。

✅【答案】

Success

$11$

✍【详细解析】

Abstract

解：首先在平面直角坐标系中绘制出约束条件对应的可行域：

• 直线 $l_1:2x-y=-1$，不等式 $2x-y\ge -1$ 表示直线的右下方区域；

• 直线 $l_2:3x+2y=23$，不等式 $3x+2y\le 23$ 表示直线的左下方区域；

• 直线 $l_3:y=1$，不等式 $y\ge 1$ 表示直线的上方区域。

这三条边界直线两两联立，求出可行域三角形的三个顶点坐标：

1. 联立 $y=1$ 与 $2x-y=-1⟹2x-1=-1⟹x=0$，得到顶点 $A(0,1)$。
2. 联立 $y=1$ 与 $3x+2y=23⟹3x+2=23⟹3x=21⟹x=7$，得到顶点 $B(7,1)$。
3. 联立 $2x-y=-1$ 与 $3x+2y=23$： 由第一式得 $y=2x+1$，代入第二式： $3x+2(2x+1)=23⟹3x+4x+2=23⟹7x=21⟹x=3$ 代入求得 $y=2\times 3+1=7$，得到顶点 $C(3,7)$。

将目标函数 $z=2y-x$ 转化为直线斜截式： $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}z$。 平移该直线，当直线经过可行域的顶点时取得最值。我们将三个顶点坐标分别代入 $z=2y-x$ 中进行定量计算对照：

• 对于点 $A(0,1)$： $z_A=2\times 1-0=2$；
• 对于点 $B(7,1)$： $z_B=2\times 1-7=-5$；
• 对于点 $C(3,7)$： $z_C=2\times 7-3=14-3=11$。

对比计算结果， $11>2>-5$，故 $z$ 的最大值为 11。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二二平面区域的无误绘制、目标函数几何截距涵义的判别、顶点法计算最值。
• 核心方法：数形结合顶点代入法。
• 避坑指南：由于目标函数是 $z=2y-x$，注意含有减号 $-x$。在代入点 $B(7,1)$ 时容易误看成加号算出 9，务必严格按照代数结构进行计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是标准的线性规划基础考题。其运筹学背景是凸多面体区域上的线性目标函数最值必在边界顶点处取得。 结论推广: 对于任何二元一次不等式组围成的封闭凸多边形区域，线性目标函数 $z=Ax+By+C$ 的最大值与最小值必定在其多边形的某个顶点（或边界线段）上达到。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2007-湖北文-11 填-线性规划求最值
• 2008-大纲卷I理-13 填-线性规划
• 2009-北京文-11 填-线性规划最值