2006-全国卷I理-11 单-不等式在求面积最值中的应用

本题导读

本题考查通过给定长度的木棒组合构成三角形并求解最大面积。核心在于通过边长的分拆与组合筛选出所有合法的三角形三边，再利用海伦公式对比求出面积的最大值。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(理)） 用长度分别为 2, 3, 4, 5, 6 (单位: cm) 的 5 根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为()

A. $8\sqrt{5}{\text{ cm}}^2$　　　　B. $6\sqrt{10}{\text{ cm}}^2$　　　　C. $3\sqrt{55}{\text{ cm}}^2$　　　　D. $20{\text{ cm}}^2$

🔍【思路分析】

破题导航

计算周长与分拆：5根木棒的总长度为 $2+3+4+5+6=20\text{ cm}$。围成三角形必须全部用上，因此该三角形的周长固定为 $C=20\text{ cm}$，半周长 $p=10\text{ cm}$。 确定三边组合：设三角形的三边长分别为 $a,b,c$，满足 $a+b+c=20$ 且任意两边之和大于第三边（即每边长都必须小于半周长 10）。 利用木棒整数不折断进行枚举：将 5 个数 $\{2,3,4,5,6\}$ 组合成三组，使其每组的和作为边长，且每组边长 $<10$。 运用海伦公式计算面积： $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，代入合法组合计算并找出最大值。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：5根细木棒的总长度为： $2+3+4+5+6=20\text{ (cm)}$ 因为要围成一个三角形，木棒不允许折断且必须全部用上，所以围成的三角形的周长固定为 $20\text{ cm}$。 根据三角形两边之和大于第三边的几何性质，任何一边的长 $x$ 必须小于周长的一半，即： $x<\frac{20}{2}=10\text{ (cm)}$

现在将 $\{2,3,4,5,6\}$ 5个数字拆分为三组，每组的和代表一条边，且由于边长不能超过或等于 10，所以单根木棒或连接后的边长只能在 $[2,9]$ 范围内。 我们来枚举所有可能的组合形式（由大到小）：

• 组合一：最大单边如果是 9，则只能是 $3+6=9$ 或 $4+5=9$。

• 若一边为 $3+6=9$，剩余木棒为 $\{2,4,5\}$，要拼成另外两边，组合只能是： $9,2+4=6,5$ （即三边为 $9,6,5$）；或 $9,4+5=9,2$ （三边为 $9,9,2$）；或 $9,2+5=7,4$ （三边为 $9,7,4$）。

• 组合二：各边长度尽可能接近时，面积通常最大。 考查最接近等边三角形的平稳构型。周长为 20，各边最接近 $\frac{20}{3}\approx 6.67$。 尝试拼出最接近的整数边长组合，例如三边为 $(7,7,6)$ 或 $(8,6,6)$ 或 $(9,6,5)$。

• 检查能否拼出 $(7,7,6)$： 利用 $\{2,5\}\to 7$， $\{3,4\}\to 7$，剩余单根为 $6$。这正好把 5 根木棒完美分配。 三边长分别为： $a=2+5=7$， $b=3+4=7$， $c=6$。

下面利用海伦公式 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ 计算各经典组合的面积（半周长 $p=\frac{20}{2}=10$）：

• 对于三边为 $(7,7,6)$ 的三角形： $S=\sqrt{10\times (10-7)\times (10-7)\times (10-6)}$ $S=\sqrt{10\times 3\times 3\times 4}=\sqrt{360}=6\sqrt{10}{\text{ (cm}}^2\text{)}$

• 对于三边为 $(9,6,5)$ 的三角形： $S=\sqrt{10\times (10-9)\times (10-6)\times (10-5)}=\sqrt{10\times 1\times 4\times 5}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}{\text{ (cm}}^2\text{)}$ 因为 $\sqrt{360}>\sqrt{200}$，所以 $6\sqrt{10}$ 更大。

• 对于三边为 $(8,6,6)$ 的三角形： 检查能否拼出 $(8,6,6)$：要两个 6，但原集合只有单根 6，其余要凑出 6 只能是 $2+4=6$，此时剩 $\{3,5\}$ 刚好组成 8。 即三边为 $a=3+5=8,b=2+4=6,c=6$。 其面积为： $S=\sqrt{10\times (10-8)\times (10-6)\times (10-6)}=\sqrt{10\times 2\times 4\times 4}=\sqrt{320}=8\sqrt{5}{\text{ (cm}}^2\text{)}$ 因为 $\sqrt{360}>\sqrt{320}$，所以 $6\sqrt{10}$ 依然最大。

综上所述，能够得到的三角形的最大面积为 $6\sqrt{10}{\text{ cm}}^2$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三角形构成的两边之和大于第三边刚性法则、不重叠不折断的离散分组枚举、海伦公式求任意三角形面积。
• 核心方法：几何直觉均值法（周长固定时，越接近等边三角形面积越大）、海伦公式定量计算法。
• 避坑指南：
• 必须注意“不允许折断”是指每一边只能由单根或几根木棒相加整数拼接而成。
• 不要凭直觉直接套用均值不等式认为每边长为 $\frac{20}{3}$ 时最大，因为木棒长度是离散的，必须在可拼出的实际组合里找最接近均值的。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查初等几何综合推理与离散组合的创新压轴选择题，将代数不等式最值（均值原理）思想通过木棒拼接的离散模型进行呈现。 结论推广: 经典几何结论表明，在周长 $C$ 固定的所有三角形中，正三角形的面积最大。若边长受限于离散整数选择，其最大面积的边长组合必然是所有合法拼法中三边差的平方和 $\sum (a-b{)}^2$ 达到最小的那一组。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.04 三角形面积公式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-四川卷文-10 单-抛物线面积最值